Suites

[idem]

Bonjour,

J'ai réussi à avancer beaucoup plus dans ce DM.

J'ai à présent réussi les questions jusqu'à la question 4 incluse.

Mais je bloque à la 5.a...

On connaît l'expression de f_n(1/n) et on sait que ln(1/n)<1/n - 1...

Mais je n'arrive pas à continuer et à trouver le résultat demandé...

J'ai aussi regardé la question 6.a :

Je ne comprends pas vraiment ce qui est entendu par "simplifier" g_n(an) et g_n(un)...

J'ai trouvé :

gn(an)= exp( (-ln(ln(n))/ln(n) * ln(n)). Est-ce juste ? Mais ce n'est pas simplifié selon moi...

et gn(un)=exp((un-1)*ln(n)).

Pourriez-vous me dire ce qui est attendu pour gn(an) et gn(un) ? Et comment terminer cette question 6.a ?

Merci beaucoup d'avance.

[SoS-Math(34)]

Bonjour

gn(an)= exp( (-ln(ln(n))/ln(n) * ln(n)) : il y a plusieurs "règles de calculs" qui te permettent d'avancer :
* La 1ère est du type (a/b)*b = a pour tout réel b non nul et a réel.
* Ensuite, que sais-tu de - ln(x), pour x positif, peux-tu l'écrire sous la forme ln(A) avec A un réel positif.
* Pour finir, comment écrire simplement exp(ln A), pour tout A>0.

[SoS-Math(34)]

Pour la question 5)a):
* utilise l'inégalité I pour comparer \(f_{n}(x)\) et \(n^{ln(x)}-x\) pour tout x positif et n entier, n>2.
* Ensuite, choisis la bonne valeur de x pour répondre à la question. SI tu relis l'énoncé du 5)a), tu n'auras aucun mal à trouver la valeur en question…
* Il faudra ensuite étudier le signe du réel inférieur à \(f_{n}(x)\) que tu feras apparaître.

Une remarque, qui vaut méthode ici en réalité :
Si tu dois étudier le signe d'un réel B et que tu trouves un réel plus simple tel que B > A et A > 0, que peux-tu en déduire pour B?
C'est une méthode qui fonctionne bien dans cette question...

Bonne recherche
sosmaths

[idem]

Merci beaucoup pour l'aide, j'ai réussi !

J'en suis maintenant à la 6.a. D'après des camarades de classe, on a g(un)=un, mais pourquoi a-t-on cela ? Ils disent que cela vient du lien entre fn et un, mais je ne vois pas... Pourriez-vous m'expliquer svp ?

Merci encore et bonne soirée.

[idem]

Finalement, j'ai compris comment on montrait que gn(un)=un !

Par contre, je suis vraiment bloqué pour la 6.b, alors que j'ai réussi la 6.a...

Avez-vous une idée de réponse pour la 6.b ?

Merci, vous m'aidez vraiment bien !

Bonne soirée.

[SoS-Math(34)]

Je m'y penche d'ici peu et je te réponds dès que possible.

[idem]

Merci beaucoup !

Je dois rendre ce devoir demain, j'espère que vous aurez le temps de me répondre ce soir...

Il me reste donc à répondre à la 6.b avec votre aide...

Pour la 7, j'ai trouvé l'équivalent de un est 1/n.

Ensuite, pour la 8.b, pour l'erreur relative, selon le prof il faut utiliser la formule comme en physique : erreur relative = [Valeur théorique - Valeur expérimentale] / (Valeur théorique)... Mais je ne sais pas comment l'appliquer dans ce devoir... Et vous ?

Merci infiniment pour l'aide, (6.b et 8.b) et bonne soirée.

[SoS-Math(34)]

Pour répondre à l'une de tes questions: pourquoi a-t-on Gn(Un)=Un?
Il faut reprendre la définition de Un : c'est la solution non triviale de l'équation (En): n^x = nx.
La solution évidente est x = 1 bien sûr.
x solution de (En) équivaut à n^x - nx = 0 et en factorisant par n: n(n^(x-1) - x) = 0 soit n*Fn(x) = 0.
Comme Un est solution de (En), Fn(Un) = 0 donc n^(Un-1) - Un = 0 soit n^(Un-1) = Un ce qui signifie Gn(Un) = Un.
Désolé pour la forme de ma réponse, je n'ai pas utilisé l'éditeur d'équation car tu sembles pressé et que cela me prend plus de temps.

[SoS-Math(34)]

Piste pour le 6b) :

Un < 1/(ln n) pour tout entier n supérieur ou égal à 3.
Or, la fonction Gn est croissante sur IR, (voir signe de sa dérivée au besoin) : que peux-tu en déduire pour les images de Un et 1/(ln n) par la fonction Gn.

Bonne recherche

[SoS-Math(34)]

Pour le 8b):

L'erreur absolue quand tu considères l'équivalence entre Un et 1/n est me semble-t-il Un - 1/n
L'erreur relative serait donc (Un - 1/n)/Un = 1 - 1/(nUn).

Bonne soirée et bon courage pour tes dernières recherches
sosmaths

PS: Puis-je savoir dans quelle classe/section tu étudies actuellement? Dans le supérieur j'imagine, car les équivalents ne sont pas du programme de terminale S.

[idem]

Merci beaucoup pour vos 3 réponses, et pas de problème pour la forme sans éditeur de la réponse, je préfère effectivement avoir une réponse que pas du tout car oui, je suis un peu pressé comme je dois le rendre demain...

Pour la 6.b : pourquoi faudrait-il calculer Gn(1/ln(n)) ? On a Gn=exp(1-ln(n)). Mais je ne vois pas comment je pourrais en déduire l'inégalité ensuite...

Pour la 8.b : l'erreur relative serait donc de 1 - 1/(nUn) ? Comment peut-on déduire un équivalent de cette quantité en s'aidant de la 8.a ? Là je ne vois pas, désolé...

Merci encore pour l'aide, j'espère que vous aurez encore un peu de temps ce soir...

[idem]

Et enfin, certains de mes camarades disent à la 8.b qu'ils ont un équivalent plus précis de un, qui est 1/n + ln(n)/n².

Comment ont-ils ceci et est-ce que cela répond à la question ?

Merci encore pour l'aide.

[SoS-Math(34)]

L'énoncé du 6b) commence par "en réitérant la méthode ..."
Le calcul des images permet d'obtenir une inégalité avec la même méthode que proposée au 6)a, comme le demande l'énoncé.

Je suppose que tu as traité le 6a) en partant de Un < An et en utilisant le sens de variation de Gn (strictement croissante sur IR) ce qui permet
de conclure que Gn(Un) < Gn(An) et ensuite en calculant chacune des images on obtient Un < 1/n.

DOnc si tu réitères (recommences) cette méthode avec l'inégalité Un < 1/(ln n) à la place de Un < 1/n, tu as espoir de trouver une autre inégalité, peut-être celle de la question du coup…

[SoS-Math(34)]

quelle formation suis-tu? classe préparatoire?
si tel est le cas, pense à mettre tes questions dans le dossier post-bac la prochaine fois...

[SoS-Math(34)]

Pour le 8 b), déduis du a) un équivalent de n*Un, puis de 1/(n*Un)…
si tu relis mon aide concernant l'erreur relative, tu auras un lien avec ce que je viens d'écrire au-dessus.

A bientôt sur le forum et bon courage pour la fin de tes recherches.
Sosmaths