Fonctions trigonométrique

[Tomas]

Bonjour pouvez vous m’aidez svp je bloque sur cet exo, voici l’énoncé : À partir d’un tronc d’arbre assmilé a un cylindre de longueur de trois mètre et de base un disque de rayon un mètre, on souhaite obtenir une planche de bois assimilé a un parralélepipède rectangle de volume maximal. On suppose que la base du cylindre et celle du parallélépipede sont dans un même plan et ont le même centre O.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Thomas,
tu dois exprimer OH et HB en fonction de \(\alpha\), il faut utiliser le cosinus et le sinus dans le triangle rectangle OHB avec pour hypoténuse OB.
Ensuite pour calculer le volume : ABxBCx3 = 2HBx2OHx3
Je te laisse avancer dans ton calcul

[Thomas]

Bonsoir, je trouve 3x 2sin(a)x 2cos(a) et je suis bloquer

[SoS-Math(33)]

Ce que tu trouves est correct,
tu as donc : 3x 2sin(a)x 2cos(a) = 6x[2sin(a)cos(a)] = 6x .....

[Thomas]

Bonsoir, je trouve 3x 2sin(a)x 2cos(a) et je suis bloquer

[Thomas]

Merci mais comment fait on pour trouver le volume maximal?

[SoS-Math(33)]

Tu obtiens donc Volume \(= 6sin(2\alpha)\)
Il te faut étudier la fonction en fonction de \(\alpha\) sur [0; pi/2]

[Thomas]

D’accord, je n’arrive pas a derivé la fonction

[SoS-Math(33)]

Tu as pas besoin de dériver, tu dois savoir que la fonction sinus est croissant sur [0 ; pi/2] puis décroissante sur [pi/2 ; pi] et qu'elle atteint son maximum pour pi/2.
Ici tu as \(0 \leq \alpha \leq \pi/2\) donc \(0 \leq 2\alpha \leq \pi\)
A toi de finir

[Thomas]

Bonsoir, j’ai terminer mes recherches et je souhaite verifier si ce que j’ai trouver est correcte.
Il existe une valeur alpha pour laquelle f admet un maximum : pi/2
J’ai donc remplacer dans la formule de depart sin(alpha) par pi/2
On obtient 6sin(2x pi/2) = 0 je ne trouve pas sa coherent

[sos-math(27)]

Bonjour Thomas,
ton raisonnement est faux.
Tu dois étudier les variations de la fonction : \(Volume = 6 \times sin(2\alpha)\) ;
elle atteindra son maximum quand \(2 \alpha\) sera égal à \(\frac{\pi}{2}\)
c'est à dire quand \(\alpha\) sera égal à ...

J'ai fait une représentation graphique avec Geogebra pour t'aider.

à bientôt

[Thomas]

Le volume maximal est donc egal a 6? Mais comment vous avez fait pour trouver 6sin(2alpha) je n’ai pas compris

[SoS-Math(31)]

Bonjour Thomas,
Tu as trouvé : Le volume est V = 3 * 2 sin(\(\alpha\)) * 2 cos(\(\alpha\))
On peut aussi l'écrire v = 6 [2sin(\(\alpha\)) cos(\(\alpha\)) ]or une formule trigonométrique dit 2 sin(a) cos(a) = sin(2a)
d'où v = 6 sin(2\(\alpha\))
Ai-je résolu ton problème ?
Sinon voici la suite :
Ta dérivée est 12 cos(2\(\alpha\))
On pose X = 2\(\alpha\)
D'après l'énoncé, \(\alpha est compris entre 0 et \frac{\Pi }{2}\) donc X est compris entre 0 et \(\Pi\)
Regardes ton cercle trigonométrique : cosX change de signe si X = \(\frac{\Pi }{2}\), donc en \(\alpha\) = \(\frac{\Pi }{4}\)
cosX positif pour 0<X<\(\frac{\Pi }{2}\) c-à-d cos(2\(\alpha\)) positif pour 0<\(\alpha\)<\(\frac{\Pi }{4}\)

[SoS-Math(31)]

Le volume 6 sin(2\(\alpha\)) est donc croissant sur [0;\(\frac{\Pi }{4}\)] et décroissant sur [\(\frac{\Pi }{4}\);;\(\frac{\Pi }{2}\)], le volume maximum est atteint en \(\frac{\Pi }{4}\).
Il vaut 6 sin(2\(\frac{\Pi }{4}\)) = 6.