Dm dérivées exponentielles

[Lucas]

Bonsoir à tous j'ai un dm à réaliser et je coince un peu si vous pourriez m'aider ça serait sympa
La toiture d'une salle de sport a un profil représenté ci contre
Ce profil est modélisé par la fonction : f1(x) = -0,09x^2+ 0 ,04x + 16,4 sur [0;10]
f2(x) = 12e^(-0,14077x+1,12) - 1,2 sur [10 ; +infini [
1 ) Etudier la continuité de la courbe de la toiture au point d'abscisse 10

2 ) Déterminer les expressions des dérivées de f à gauche et à droite de 10. f est-elle dérivable en 10 ?
Pour des raisons de faisabilité l'écart entre les deux tangentes ne doit pas être supérieur à 10%. Cette conditions est-elle respectée ?

3 ) La pente de la courbe ne doit pas excéder en pourcentage 200% pour que le revêtement ne se détache pas trop facilement . Cette courbe respecte-t-elle cette condition ? là je suis un peu perdu j'arrive pas à cerner la démarche à avoir
4 ) Ecrire un algorithme qui permette de determiner l'abscisse du point C de contact avec le sol . Donner une valeur approchée au centième près de cette abscisse
là je suis complètement perdu j'ai déjà du mal à analyser un algorithme alors en faire un c'est vraiment compliqué je sais même pas par où commencer
1)
Une fonction est continue en un point lorsque lim f(x) ( quand x tend vers a ) = f(a) f1(x) = 7,8 et f2(10 ) = 7,79 La fonction n'est donc pas continue en 10
2 ) f'1(x) = -0,18x +0,04
f'2(x) = -0,14077 x 12e^(-0,14077x+1,12 )
Pour f1(10) y = -1,76x+ 25,4 , pour f2(10 ) y =-1,26 x +20,39 pour que l'écart ne soit pas supérieur à 10% je dois faire le quotient (-1,26x + 20,39)/(-1,76x+25,4) ? Pourriez vous me dire si mes réponses aux 2 premières questions sont correctes et comment répondre à la 3 et 4 car j'ai vraiment du mal surtout pour l'algorithme svp

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Lucas

Pour la première question, je pense que c'est bon. Il faut en effet voir si f1(10) et f2(10) sont égaux.

Pour la question 2, compare donc f1'(10) et f2'(10) pour savoir s'il y a dérivabilité en 10.
Pour la condition sur le pourcentage, l'écart entre les deux tangentes au point d'abcisse 10 est la valeur absolue de la différence entre f1(10) et f2(10). Je pense qu'il faut comparer cet écart avec 0,1. (qui fait référence à 10%)

[SoS-Math(34)]

Pour la question 3, la pente d'une droite, est le coefficient de cette droite.
En particulier, la pente de la tangente au point d'abscisse a à la courbe d'une fonction f est le nombre f'(a).
Tu peux donc essayer d'encadrer f1'(a) pour a entre 0 et 10
et faire de même pour f2'(a) pour a>10.

[Lucas]

Merci de votre réponse mais vu que 7,79 et 7,8 ne sont pas égaux je peux pas vraiment considérer qu'ils sont égaux non ? alors j'ai cherché pour la 2 pour la dérivabilité : sur [0;10[ f1(x) dérivable car fonctio polynôme donc f' 1(10) = -1,76 et f ' 2 (10) = -1,26 les deux résultats sont différents donc f n'est pas dérivable en 10
2 ) -1,76 x 0,1 = -0,176
-1,58<-1,76<-1,93 et -1,26 n'appartient pas à cet intervalle donc la condition n'est pas respectée
3 ) Si je prends f'(5 ) = -0,86
et f'(15) = -0,626
La différence entre f'(5) et f'(15 ) est inférieur à 200% donc la courbe respecte cette condition

[SoS-Math(25)]

Bonjour Lucas :

Merci de votre réponse mais vu que 7,79 et 7,8 ne sont pas égaux je peux pas vraiment considérer qu'ils sont égaux non ? alors j'ai cherché pour la 2 pour la dérivabilité : sur [0;10[ f1(x) dérivable car fonctio polynôme donc f' 1(10) = -1,76 et f ' 2 (10) = -1,26 les deux résultats sont différents donc f n'est pas dérivable en 10

Je n'ai pas vérifié tes calculs mais cela me semble correct.

2 ) -1,76 x 0,1 = -0,176
-1,58<-1,76<-1,93 et -1,26 n'appartient pas à cet intervalle donc la condition n'est pas respectée

Même si je n'ai pas bien compris la question, je pense qu'il faut plutôt regarder si l'écart entre f1(10) et f2(10) est plus grand que 0,1 (10% vu comme un nombre).

3 ) Si je prends f'(5 ) = -0,86
et f'(15) = -0,626
La différence entre f'(5) et f'(15 ) est inférieur à 200% donc la courbe respecte cette condition

"La pente de la courbe ne doit pas excéder en pourcentage 200% pour que le revêtement ne se détache pas trop facilement."

Si je traduit brutalement, les coefficients directeurs des tangentes ne doivent pas dépasser 2 (200%=2) en valeur absolue. Il faut donc encadrer tous les nombres dérivés et montrer qu'ils sont compris entre -2 et 2.

Bon courage

[Lucas]

Bonjour , donc à la question 2 ) comme l'écart entre les coefficients directeurs des 2 tangentes est de 0,5 et donc supérieur à 0,1 alors la condition n'est pas respectée
3 ) f'1(x) = |-1,76| f'2(x) = | -1,26| ils sont tous deux compris entre -2 et 2 donc la condition est respectée
et pour la question 4 s'il vous plaît comment dois-je procéder pour réaliser l'algorithme on en a peu fait en classe et donc je n'ai pas vraiment beaucoup de connaissances sur le sujet

[SoS-Math(25)]

Bonjour , donc à la question 2 ) comme l'écart entre les coefficients directeurs des 2 tangentes est de 0,5 et donc supérieur à 0,1 alors la condition n'est pas respectée

Attention ! C'est l'écart entre f1(10) et f2(10) et non entre f1'(10) et f2'(10). (Enfin... c'est comme cela que je comprends la question...)

3 ) f'1(x) = |-1,76| f'2(x) = | -1,26| ils sont tous deux compris entre -2 et 2 donc la condition est respectée

Attention ! Il faut démontrer que pour les nombres x appartenant à [0;10], f1'(x) est compris entre -2 et 2 (pas seulement f1'(10))... De même pour f2'(x) sur [10;+infini[

Pour l'algorithme c'est plus compliqué et il est difficile d'aider sans donner la réponse. Il s'agit d'un algorithme de dichotomie. Tu pourras regarder sur internet des exemples pour essayer de comprendre.

Bon courage

[Lucas]

ah bon ? dans ce cas quel est le coefficient que je dois affecter à f2(x) car c'est une fonction expnentielle
3 ) j'ai étudié les variations de la 1ere fonction mais je trouve que f(x) est décroissant de 16,4 à 16,39 puis croissant jusqu'à 17,61 ( avec -0,22 comme valeur interdite ) donc pas du tout compris entre -2 et 2 et pour la fonction numéro 2 j'ai trouvé négatif avant 7,95 et positif après mais j'ai aucune valeur se rapprochant de 2
4) j'ai jeté un coup d'oeil et donc le point C est le milieu de f1(x) et f2 ( x) et pour pouvoir effectuer l'algorithme je dois prendre les fonctions entières f1(x) et f2(x) ou d'autrers valeurs pour effectuer l'algorithme ?

[SoS-Math(25)]

ah bon ? dans ce cas quel est le coefficient que je dois affecter à f2(x) car c'est une fonction expnentielle

"Pour des raisons de faisabilité l'écart entre les deux tangentes ne doit pas être supérieur à 10%. Cette conditions est-elle respectée ? "

Je comprends cette question comme étant l'écart au point d'abscisse 10 entre la tangente à f1 et la tangente à f2. C'est le petit "saut" entre les toitures pour x=10.

3 ) j'ai étudié les variations de la 1ere fonction mais je trouve que f1(x) est décroissant de 16,4 à 16,39 puis croissant jusqu'à 17,61 Sur [0;10], f1 n'est-elle pas décroissante ? Que valent f1(0) et f1(10) ? Regarde l'image en fin de message ( avec -0,22 comme valeur interdite f1 est un polynôme, il n'y a pas de valeur interdite... ) donc pas du tout compris entre -2 et 2 Il faut étudier les valeurs de f1' pas de f1 et pour la fonction numéro 2 j'ai trouvé négatif avant 7,95 et positif après mais j'ai aucune valeur se rapprochant de 2 mêmes remarques

En résumé,

2) Quel est l'écart entre f1(10) et f2(10) ?
3) Donner un encadrement des valeurs prises par f1' (la dérivée de f1) sur [0;10], de même pour f2' sur [10;+infini]

4) j'ai jeté un coup d'oeil et donc le point C est le milieu de f1(x) et f2 ( x) ? Cela ne veut pas dire grand chose, je ne comprends pas. Regarde l'image en fin de message, le toit touche le sol pour une valeur de x comprise entre 24 et 25... et pour pouvoir effectuer l'algorithme je dois prendre les fonctions entières f1(x) et f2(x) ou d'autrers valeurs pour effectuer l'algorithme ? Beaucoup de choses à reprendre avant, ne nous éparpillons pas...

Bon courage

[Lucas]

L'écart entre f1(10) = 17 , 61 et f2 ( 10 ) = 7,79 est de 9,82 donc 9% environ donc la condition est respectée

f'1(0) = 0,04 f1'(10 = -1,76 f'2 ( 10 ) = -1,26 et donc comme toutes ces valeurs sont comprises entre -2 et 2 la condition est respectée
4 ) je comprends vraiment pas comment je pourrai arriver à la solution de cela et comment je dois prouver que x est compris entre 24 et 25 ...

[SoS-Math(25)]

L'écart entre f1(10) = 17 , 61 et f2 ( 10 ) = 7,79 est de 9,82 donc 9% environ donc la condition est respectée

9%=0,09 donc 9,82 est bien plus grand. De plus, tu avais déjà calculé f1(10) et f2(10) dans la première question :

1)
Une fonction est continue en un point lorsque lim f(x) ( quand x tend vers a ) = f(a) f1(x) = 7,8 et f2(10 ) = 7,79 La fonction n'est donc pas continue en 10

L'écart entre f1(10) = 17 , 61 et f2 ( 10 ) = 7,79 est de 9,82 donc 9% environ donc la condition est respectée

f'1(0) = 0,04 f1'(10 = -1,76 f'2 ( 10 ) = -1,26 et donc comme toutes ces valeurs sont comprises entre -2 et 2 la condition est respectée

C'est l'idée mais il montrer cela pour toutes les valeurs de x sur [0;10] pour f'1 et sur [10;+infini[ pour f'2

4 ) je comprends vraiment pas comment je pourrai arriver à la solution de cela et comment je dois prouver que x est compris entre 24 et 25 ...

Sans algorithme pour comprendre le mécanisme :

Si tu calcules f2(24), tu obtiens un nombre positif. Es-tu d'accord ?
Si tu calcules f2(25), tu obtiens un nombre négatif. Es-tu d'accord ?

Comme la fonction f2 est continue et strictement décroissante sur [24;25], il existe un moment, x, compris entre 24 et 25 tel que f(x)=0... L'idée est donc d'approcher ce x.

Pour enchaîner, calcule f2(24.5) (au milieu) et regarde le signe pour affirmer que ce x appartient soit à l'intervalle [24;24,5] ou alors [24,5;25]..

Bon courage

[Lucas]

pour la fonction 1 Dire : Comme l'intervalle est [0,04; -1,76 [ alors toutes les valeurs comprises dedans seront aussi comprises entre 2 et -2 n'est pas suffisant ? je sais pas comment je pourrai vérifier pour f2 car les valeurs vont jusqu'à + infini
4) f(24,5 ) = -0,03 donc x ( qui est mon C ) appartient à [24;24,5[ et ensuite que dois je faire ?

[SoS-Math(25)]

pour la fonction 1 Dire : Comme l'intervalle est [0,04; -1,76 [ alors toutes les valeurs comprises dedans seront aussi comprises entre 2 et -2 n'est pas suffisant ? je sais pas comment je pourrai vérifier pour f2 car les valeurs vont jusqu'à + infini

Tu as compris ce à quoi tu devais arriver.
Il faut étudier f'1 et f'2 c'est à dire, dresser un tableau de variation de f'1 (puis de f'2) pour justifier cet encadrement de valeurs [0,04; -1,76 [ (il faut donc dériver f'1 et f'2).

4) f(24,5 ) = -0,03 donc x ( qui est mon C ) appartient à [24;24,5[ et ensuite que dois je faire ?

Ensuite il faut recouper en deux : Calcule l'image de 24,25 par f2 et recommence. L'algorithme sera la même chose que ce mécanisme.

Bon courage

[Lucas]

f ' ' 1(x) = -0,18 est décroissant sur l'intervalle [0;10[
f ' ' 2 ( x) = 0,23e^(-0,14077x + 1,12 ) est décroissant sur[ 10; + infini [ mais je vois pas comment ça m'aide à étudier l'encadrement que j'ai donné et encore moins pour la 2eme fonction
4 ) j'ai effectué 4 divisions successives et mesvaleurs augmentent au lieu de tendre vers 0 et de même sur l'intervalle [24,5;25 [ j'obtiens pas de 0

[SoS-Math(25)]

Beaucoup d'imprécisions :

f ' ' 1(x) = -0,18 est décroissant... qui ? quoi ? sur l'intervalle [0;10[

Le calcul de f ' ' 1 est juste mais la conclusion n'est pas claire. f ' ' 1 est négative sur [0;10] donc f ' 1 est décroissante.

Tu peux donc dresser un tableau de variation de f ' 1 et justifier l'encadrement des valeurs prises par f ' 1 sur [0,10].

f ' ' 2 ( x) = 0,23e^(-0,14077x + 1,12 ) est décroissant sur[ 10; + infini [ mais je vois pas comment ça m'aide à étudier l'encadrement que j'ai donné et encore moins pour la 2eme fonction

Même chose

4 ) j'ai effectué 4 divisions successives et mesvaleurs augmentent au lieu de tendre vers 0 et de même sur l'intervalle [24,5;25 [ j'obtiens pas de 0

Effectivement les images des milieu des intervalles devraient tendre vers 0.

Je reprends :

4) f(24,5 ) = -0,03 donc x ( qui est mon C ) appartient à [24;24,5[ et ensuite que dois je faire ?

Ensuite il faut recouper en deux : Calcule l'image de 24,25 par f2 et recommence. L'algorithme sera la même chose que ce mécanisme.

Tu sais que l'antécédent de 0 par f2, que l'on appelle x ici, est entre 24 et 25 car f2(24)>0 et f2(25)<0.

Tu as calculé ensuite f2(24,5) pour obtenir f2(24,5)=-0,03 <0. Et tu as conclu que x appartenait à l'intervalle [24;24,5[ ce qui est juste. Donc inutile de chercher sur l'intervalle [24,5;25[... Comprends-tu ?

Ensuite as calculé ensuite f2(24,25) pour obtenir f2(24,25)=0,054. C'est effectivement plus loin de 0 que -0,03 mais c'est un nombre positif donc x se trouve entre 24,25 et 24,5 puis on recoupe encore en deux...

Il faut d'abord bien comprendre ce principe avant de se lancer dans l'algorithme.