Suite et triangle de Pascal

[SoS-Math(9)]

Nathan,

Voici le début de la récurrence :
Soit P(n) la propriété suivante : pour tout n ≥ 1, \(C_n = F_{n+1}\).

Initialisation : n = 1, C1 = 1 = F2. Puis C2 = 2 = F3.
Donc la propriété est vraie au rang 1 et 2.

Hérédité : On suppose qu'il existe un entier n ≥ 2, tel que P(n-1) et P(n) soient vraies. (donc P(n-1) et P(n) sont tes hypothèses de récurrence).
Montrons alors que P(n+1) est vraie.
….

Je te laisse terminer.

SoSMath.

[Nathan]

Merci beaucoup !

C'est bien ce que j'avais fait.

J'ai ensuite complété comme vous me l'expliquiez dans un message précédent.

J'ai encore 2 questions (encore désolé...) :

1) Si l'on avait voulu montrer que Cn=Fn, une récurrence était-elle indispensable ? Ou pouvait-on dire que comme Fn et Cn ont la même relation de récurrence et comme C1=F1 et C2=F2, alors Cn=Fn ? Si l'on peut dire ça, alors je ne comprends pas pourquoi...

2) J'ai réussi la question 4.a. Pour la question 4.b, j'aboutis à :

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, \(F_{n}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} + \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}*(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}\).

Cette expression est-elle juste ? Est-elle simplifiable ?

Ensuite, comment la remanier pour obtenir la forme demandée à la question 4.b et déterminer phi ?

Merci encore pour l'aide et bonne soirée.

[Nathan]

Ensuite, pour la question 4.b :

Pour étudier les variations de f ainsi que la position relative de sa courbe représentative Cf par rapport à la droite D d’équation y = x, pourriez-vous me confirmer que :

* il faut dériver la fonction f sur l'intervalle ]0;+infini[

* ensuite, comment étudier la position relative Cf par rapport à D ?

Je crois qu'il faut faire un tableau de signes mais je ne sais plus trop comment il se présente...

Pourriez-vous me le dire svp ?

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Nathan,

* le fait de constater que Cn = Fn n'est pas une preuve mais une conjecture qu'il faut démontrer.

* pour le calcul de Fn en fonction de n, tu dois trouver Fn = a*r1^n + b*r2^n. Et tu dois constater que r1 * r2 = -1 soit r2 = -1/r1, d'où \(\varphi\) = r1.
Ensuite pour le calcul les constantes a et b, utilise F1 et F2. En principe tu dois trouver ce qui est donné.

* pour étudier la position relative Cf par rapport à D, il faut étudier le signe de la différence de leur équation, soit f(x) - x.

SoSMath.

[Nathan]

Merci beaucoup pour la réponse.

Pour étudier le signe de 1 + 1/x - x, il faut dériver ?

Ou y a-t-il une méthode plus rapide ?

Et on a bien x>0 ?

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Nathan,

Je n'ai pas lu tout le sujet...
J'aurais plutôt mis tout au même denominateur puis tableaux de signes....

Bon courage

[Nathan]

Effectivement, je me disais bien qu'il y avait quelque chose de plus simple que de dériver !

Il n'y avait en effet pas besoin de lire tout le sujet pour cette question.

Par contre, comment faire la toute dernière question ?

Merci encore pour l'aide.

[SoS-Math(25)]

Je laisse ton message en attente, il est tard.
Repose toi, mon collègue te répondra demain ou je regarderai demain.

A bientôt

[Nathan]

D'accord, merci beaucoup d'avance pour la réponse pour la toute dernière question.

Par contre, je n'arrive toujours pas à terminer la question 4.b : comment passer de ce que j'ai écrit dans mon message d'hier à 19h26 à la forme demandée par l'énoncé... Notamment, j'ai puissance n-1, alors que l'énoncé veut puissance n...

Comment faire ?

Merci encore pour l'aide et désolé de vous déranger autant.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

Voici un petit rappel pour t'aider à la question 4b : \(a^{n-1}=\frac{a^n}{a}\).

SoSMath.

[Nathan]

D'accord, merci beaucoup.

Je crois que j'ai réussi.

Pour la question 4.a et 4.b, j'aimerais montrer que tous les termes de la suite (Fn) sont des entiers naturels strictement positifs.

Comment puis-je montrer cela ?

J'ai essayé par récurrence mais je n'y arrive pas...

Merci encore.

[SoS-Math(9)]

Nathan,

Pour montrer que \(F_n\) est un entier pour tout n, tu peux faire une récurrence double …
On utilisera le fait que \(F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\).

SoSMath

[Nathan]

D'accord, merci beaucoup !

2 questions :

* Ensuite on dit que comme Fn et Fn-1 sont des entiers strictement positifs par hypothèses de récurrence, alors la somme des 2 est un entier strictement positif. Or Fn+1=Fn + Fn-1. Donc Fn+1 est un entier strictement positif et l'hérédité est alors terminée ?

* Pour l'hérédité on suppose que P(n) et P(n-1) sont vraies ?

* Aurait-on aussi pu faire comme ça :
on montrer que un coefficient binomial est un entier naturel strictement positif (par récurrence ?) Si c'est par récurrence, comment faire ? Car je n'ai pas réussi en utilisant la formule de Pascal, et cela m'intéresse...
on montre que comme Fn est définie comme la somme de coefficients binomiaux, alors d'après la ligne ci-dessus, Fn est un entier naturel strictement positif.

Quelle est la méthode la plus pertinente entre la première et la deuxième pour montrer que Fn est un entier naturel strictement positif ?

Merci encore pour l'aide.

[SoS-Math(9)]

Nathan,

tu as écrit :
* Ensuite on dit que comme Fn et Fn-1 sont des entiers strictement positifs par hypothèses de récurrence, alors la somme des 2 est un entier strictement positif. Or Fn+1=Fn + Fn-1. Donc Fn+1 est un entier strictement positif et l'hérédité est alors terminée ?
Réponse : oui.

tu as écrit :
* Pour l'hérédité on suppose que P(n) et P(n-1) sont vraies ?
Réponse : oui. (c'est une récurrence double)

Pour l'autre méthode, cela marche aussi. Voici un lien pour démontrer que les coefficient sont entiers : https://pierreallkenbernard.wordpress.com/2009/01/15/pourquoi-les-coefficients-binomiaux-sont-des-entiers/.

SoSMath.

[Nathan]

OK, c'est très clair, merci beaucoup.

Mais finalement je suis un peu perdu...

On ne doit pas plutôt montrer que ce sont les termes de la suite TAU(n) qui sont strictement positifs ?

Si oui, alors je ne vois pas comment faire...

Merci.