Voici ci-joint les sujets, ce sont les exercices 98, 100 et 57.
Exercice 98
Exercice 100
Exercice 57
J'ai trouvé pour le 98 :
1) A : Z=4i B: Z=4i+a+ib
Comme (\(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\)) = \(\frac{\pi}{2}\) - \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{6}\)
AB = 4
B (cos(\(\frac{\pi}{6}\)), sin(\(\frac{\pi}{6}\))) comme AB = 4 donc Z=4(cos(\(\frac{\pi}{6}\)) + sin(\(\frac{\pi}{6}\)))
Z = 4(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + i \(\frac{1}{2}\)) = 2\(\sqrt{3}\) + 2i
\(\frac{\pi}{6}\) - \(\frac{\pi}{12}\) = \(\frac{-4\pi}{12}\) = \(\frac{-\pi}{3}\)
(\(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{BC}\)) et BC = 2
C (cos(\(\frac{-\pi}{3}\)), sin(\(\frac{-\pi}{3}\))) comme BC = 2 donc Z = 2(\(\frac{-\pi}{3}\) + sin(\(\frac{-\pi}{3}\))
Z = 2(\(\frac{1}{2}\) + i \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)) = 1 - \(\sqrt{3}\)i
2) (\(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{OA}\)) = \(\frac{\pi}{3}\) = thêta
thêta \(\in\) ]0 ; \(\frac{\pi}{2}\)[
\(Z_{A}\) = 4i (0 ; 4)
\(Z_{A}\) = 4i = 0 + 4i
\(Z_{B}\) = 2\(\sqrt{3}\) + 2i (2\(\sqrt{3}\) ; 2)
\(Z_{B}\) = 4(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i)
\(Z_{C}\) = \(Z_{A}\) + \(Z_{B}\)
\(Z_{C}\) = 0 + 4i
\(Z_{C}\) est de la forme a + ib
\(Z_{C}\) = 1 - \(\sqrt{3}\) i d'après 1)
Je m'en suis arrêté là pour le 98.
J'ai trouvé pour le 100 :
Admettons que M est un point de C donc a + ib = \(\frac{x}{x-1}\)
\(\frac{x}{x-1}\) passe par O(0 ; 0) admettons que M = O donc \(\frac{x+1}{x-1+1}\) = \(\frac{x+1}{x}\)
Je m'en suis arrêté là et j'ai essayé le 57 :
1a) P(\(E_{1}\)) = 0,4
\(P_{E1}\)(\(E_{2}\)) = 0,6
\(P_{\overline{E1}}(E_{2}\)) = 0,4
P(\(E_{2}) = \frac{P_{E1}(E_{2}) + P_{\overline{E1}}(E_{2})}{P(E_{1})}\) mais je me suis planté.
b) J'ai fait un arbre de probabilités avec \(E_{n}\) au début et 2 branches sur celle du haut j'ai marqué 3/5 et au bout j'ai marqué \(E_{n+1}\) et sur celle du bas j'ai marqué 2/5 et au bout j'ai marqué \(\overline{E_{n+1}}\)
2a) \(u_{1}\) = 0,4 inférieur strictement à 0,5
\(u_{2}\) = 0,2 \(\times\) 0,4 + 0,4 = 0,48 inférieur strictement à 0,5
\(u_{n}\) inférieur strictement à 0,5 donc \(u_{n} \times\) 0,2 inférieur strictement à 0,5 \(\times\) 0,2
0,2 \(u_{n}\) inférieur strictement à 0,1
0,2 \(u_{n}\) + 0,4 inférieur strictement à 0,1 + 0,4 ce qui équivaut à \(u_{n+1}\) inférieur strictement à 0,5 donc la suite (\(u_{n}\)) est majorée par 0,5.
b) 0,4 inférieur strictement à 0,48 donc \(u_{n}\) inférieur strictement à \(u_{n+1}\) équivaut à \(u_{n}\) inférieur strictement à 0,2 \(u_{n}\) + 0,4 donc la suite (\(u_{n}\)) est croissante.
c) Comme la suite \(u_{n}\) est croissante et majorée, elle est donc convergente d'après le théorème de convergence. Sa limite est donc son majorant soit 0,5.
3a) Les probabilités P(\(E_{n}\)) varient de manière monotone : soit la probabilité de En est 3/5 soit 2/5 dans les 2 cas on ne pourra pas aller plus loin.
b) On a 0,499999 \(\leq P(E_{n}) \leq\) 0,5 à partir de n = 6 jusqu'à n = +\(\infty\) car 0,5 est la limite de la suite \(u_{n}\) et c'est le majorant de la suite \(u_{n}\) donc P(\(E_{n}\)) n'aura jamais une valeur égale à 0,5
C'est tout ce que j'ai fait,
Dans l'attente de votre réponse, je vous souhaite une bonne journée
Valentin