DM géométrie dans l'espace

[Noémie]

Bonjour, j'ai un DM à faire pendant les vacances sur la géométrie dans l'espace.

ABCDEFGH est un cube :

1°) Montrer que (EF) est orthogonale à (BG)
2°) Montrer que (EC) est orthogonale à (BG)
3°) On admet que (BD) est orthogonale au plan (EAC) en déduire que (EC) est orthogonale au plan (BDG)
4°) Prouver que les plans (HFA) et (BDG) sont parallèles, en déduire que (EC) est orthogonale à (AH)


Pour la 1°) j'ai dit que (EF) est orthogonale à (FG), que (EF) est orthogonale à (BF) et que (FG) et (BF) appartiennent à (BFG). Donc (EF) est orthogonale à (BFG) et en particulier à (BG)
Par contre je n'arrive pas à faire les autres questions, je ne vois pas par où commencer.

Merci d'avance.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Noémie,

Je reprends ta réponse en ajoutant ou modifiant quelques éléments. Ton raisonnement est bon.
Pour la 1°) j'ai dit que (EF) est orthogonale à (FG), que (EF) est orthogonale à (BF) et que (FG) et (BF) appartiennent à (sont deux droites sécantes incluses dans le plan) (BFG). Donc (EF) est orthogonale à -au plan- (BFG) et en particulier à -la droite- (BG)

[SoS-Math(34)]

PS : L'énoncé de ton exercice comporte-t-il le cube ?
Si oui, merci de l'envoyer en pièce jointe car la façon de nommer les sommets est importante pour comprendre l'énoncé.
Si ce n'est pas le cas, fais une figure.

[SoS-Math(34)]

Au 3) :

tu as prouvé que (EC) est orthogonale à (BG) au 2)

or tu sais que (BD) est orthogonale au plan (EAC) donc à toute droite incluse dans ce plan.
Laquelle pourrait t'intéresser, dans l'optique de montrer que (EC) est orthogonale à au plan (BDG)?

Je te rappelle que pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de prouver qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

[Noémie]

D’accord voilà la figure ! Ensuite pour la question 3) j’ai réussi à dire que :

On a : La droite (EC) est orthogonale à la droite (BG), que la droite (BD) est orthogonale au plan (EAC) en particulier à la droite sécante de ce plan (EC) et que la droite (BD) est orthogonale au plan (BDG). Ainsi la droite (EC) est orthogonale au plan (BDG).

Par contre je bloque toujours à la 2), je suppose que je dois faire pareil mais je ne comprends pas quelles droites utiliser.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la 2) tu peux te servir du produit scalaire : \(\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{BG}=(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FC}).\overrightarrow{BG}=...\)
Je te laisse conclure
Bonne continuation

[Noémie]

Je n’ai pas encore vu les vecteurs pour ce chapitre, je ne pense pas que ce soit ce que mon professeur attend

[SoS-Math(31)]

Bonjour Noémie,
D'après la question 1),
(BG) est orthogonale à (EF), de plus EBCG est un carré donc ses diagonales se coupent leur milieu d'où (BG) orthogonale à (FC)
Ainsi comme pour le 1), (BG) orthogonale au plan (EFC) d'où (BG) orthogonal à (EC)

[Noémie]

Je ne comprends pas en quoi EBCG est un carré, sinon je comprends le raisonnement.

[SoS-Math(31)]

Non, c'est une faute de frappe, c'est la face FBCG qui est un carré

[Noémie]

D'accord, merci beaucoup j'ai réussi à finir l'exercice !

[SoS-Math(31)]

Bonne continuation. A bientôt sur le forum si tu as besoin.