Soit (o,i,j) un repère du plan et a et b deux nombres réels strictement positifs avec b < a. On appelle ellipse (E) l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que :
(x2/a2) + (y2/b2)=1
Le but de cet exercice est d’étudier un cas particulier de (E), où a = 5 et b = 3.
On fera les constructions au fur et à mesure, en prenant pour unité 1 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée
ellipse
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SoS-Math(33)
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- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: ellipse
Bonjour Natacha,
sur le forum la politesse et la courtoisie sont de rigueur donc un message commence par un bonjour et se termine par un merci, ce qui est beaucoup plus agréable.
Ensuite le forum n'ayant pas pour but de faire l'exercice à ta place, il est souhaitable que tu indiques les recherches déjà entreprises et qui te posent problème.
Il ne te reste plus qu'à reformuler ton message si tu veux qu'il soit pris en compte.
SoS-math
sur le forum la politesse et la courtoisie sont de rigueur donc un message commence par un bonjour et se termine par un merci, ce qui est beaucoup plus agréable.
Ensuite le forum n'ayant pas pour but de faire l'exercice à ta place, il est souhaitable que tu indiques les recherches déjà entreprises et qui te posent problème.
Il ne te reste plus qu'à reformuler ton message si tu veux qu'il soit pris en compte.
SoS-math
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Natacha
Re: ellipse
Bonjour,
désolée pour le message précédent mais il est parti trop vite avant que j'ai le temps de le modifier.....cela faisait plusieurs fois que le message ne partait pas et m'indiquait "erreur contactez l'administrateur", il n'est pas dans mes habitudes de manquer de politesse, ni de faire faire mon travail par les autres, je sollicite juste un peu d'aide. Merci par avance, je tente de remettre le message depuis le début.
Soit (o,i,j) un repère du plan et a et b deux nombres réels strictement positifs avec b < a. On appelle ellipse (E) l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que :
(x2/a2) + (y2/b2)=1
Le but de cet exercice est d’étudier un cas particulier de (E), où a = 5 et b = 3.
On fera les constructions au fur et à mesure, en prenant pour unité 1 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
a) Montrer que pour tout point M(x ; y) de l’ellipse (E), on a :
−5< x<5 et −3<y<3.
Si (x2/25) + (y2/9) = 1
alors : x2/25< 1
et y2/9 < 1
par conséquent :
−5<x<5
−3<y<3
Expliquer la signification graphique de ce résultat.
Cela signifie que la courbe est "comprise" entre les valeurs de x et y citées précédemment ?
désolée pour le message précédent mais il est parti trop vite avant que j'ai le temps de le modifier.....cela faisait plusieurs fois que le message ne partait pas et m'indiquait "erreur contactez l'administrateur", il n'est pas dans mes habitudes de manquer de politesse, ni de faire faire mon travail par les autres, je sollicite juste un peu d'aide. Merci par avance, je tente de remettre le message depuis le début.
Soit (o,i,j) un repère du plan et a et b deux nombres réels strictement positifs avec b < a. On appelle ellipse (E) l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que :
(x2/a2) + (y2/b2)=1
Le but de cet exercice est d’étudier un cas particulier de (E), où a = 5 et b = 3.
On fera les constructions au fur et à mesure, en prenant pour unité 1 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
a) Montrer que pour tout point M(x ; y) de l’ellipse (E), on a :
−5< x<5 et −3<y<3.
Si (x2/25) + (y2/9) = 1
alors : x2/25< 1
et y2/9 < 1
par conséquent :
−5<x<5
−3<y<3
Expliquer la signification graphique de ce résultat.
Cela signifie que la courbe est "comprise" entre les valeurs de x et y citées précédemment ?
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Natacha
Re: ellipse
suite : le message bloque toujours j'essaie de l'envoyer en plusieurs parties, désolée !
b) Montrer que (E) admet l’origine O du repère comme centre de symétrie et les axes du repère comme axes de symétrie.
On a dit que un point M(x; y) appartient à l'ellipse si ses coordonnées vérifient l'équation de celle-ci.
Son symétrique par rapport au centre de l'ellipse a pour coordonnées (- x; - y).
ce qui est effectivement le cas car :
x2/25+y2/9=1 équivaut à (-x)2/25+(-y)2/9=1
Ce qui prouve que O est le centre de symétrie de l'ellipse.
Je ne sais pas si la méthode est bonne, ni comment faire pour les axes...
b) Montrer que (E) admet l’origine O du repère comme centre de symétrie et les axes du repère comme axes de symétrie.
On a dit que un point M(x; y) appartient à l'ellipse si ses coordonnées vérifient l'équation de celle-ci.
Son symétrique par rapport au centre de l'ellipse a pour coordonnées (- x; - y).
ce qui est effectivement le cas car :
x2/25+y2/9=1 équivaut à (-x)2/25+(-y)2/9=1
Ce qui prouve que O est le centre de symétrie de l'ellipse.
Je ne sais pas si la méthode est bonne, ni comment faire pour les axes...
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: ellipse
Bonjour,
pour les encadrements de \(x\) et de \(y\) c'est correct, cela prouve que ta courbe est incluse dans le rectangle dont les sommets ont pour coordonnées : (-5;-3) (5;-3) (5;3) (-5;3).
Pour le centre de symétrie, il suffit de prouver que M(x;y) appartient à E si et seulement si M'(-x;-y) appartient à E.
Donc par équivalence on a bien \( \dfrac{(-x)^2}{25}+\dfrac{(-y)^2}{9}=\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)
Pour les axes, c'est un peu la même chose : M(x;y) a pour symétrique par rapport à l'axe des ordonnées le point M'(-x;y) (abscisses opposées et ordonnées égales)
Et M(x;y) a pour symétrique par rapport à l'axe des abscisses le point M"(x;-y) (abscisses égales et ordonnées opposées).
En fait, le fait de prouver que la figure était symétrique par rapport aux deux axes du repère entraînait le fait qu'elle était symétrique par rapport à leur point d'intersection, à savoir l'origine du repère (mais cela tu n'es pas censée le savoir).
Bonne continuation
pour les encadrements de \(x\) et de \(y\) c'est correct, cela prouve que ta courbe est incluse dans le rectangle dont les sommets ont pour coordonnées : (-5;-3) (5;-3) (5;3) (-5;3).
Pour le centre de symétrie, il suffit de prouver que M(x;y) appartient à E si et seulement si M'(-x;-y) appartient à E.
Donc par équivalence on a bien \( \dfrac{(-x)^2}{25}+\dfrac{(-y)^2}{9}=\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)
Pour les axes, c'est un peu la même chose : M(x;y) a pour symétrique par rapport à l'axe des ordonnées le point M'(-x;y) (abscisses opposées et ordonnées égales)
Et M(x;y) a pour symétrique par rapport à l'axe des abscisses le point M"(x;-y) (abscisses égales et ordonnées opposées).
En fait, le fait de prouver que la figure était symétrique par rapport aux deux axes du repère entraînait le fait qu'elle était symétrique par rapport à leur point d'intersection, à savoir l'origine du repère (mais cela tu n'es pas censée le savoir).
Bonne continuation
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Natacha
Re: ellipse
merci beaucoup !
je dois ensuite :
c) Prouver que (E) est la réunion des courbes représentatives (E1) et (E2) des fonctions f1 et f2, définie sur [-5 ;5] par :
f1(x)=(3/5) * racine (25−x2) et f2(x)=−f1(x).
je pensais faire faire f1 + f2 mais si je fais cela, je vais trouver un résultat nul étant donné que f2 = -f1
d) Déterminer puis tracer les points dans un repère les points d’intersection de (E) avec les axes du repère.
je dois ensuite :
c) Prouver que (E) est la réunion des courbes représentatives (E1) et (E2) des fonctions f1 et f2, définie sur [-5 ;5] par :
f1(x)=(3/5) * racine (25−x2) et f2(x)=−f1(x).
je pensais faire faire f1 + f2 mais si je fais cela, je vais trouver un résultat nul étant donné que f2 = -f1
d) Déterminer puis tracer les points dans un repère les points d’intersection de (E) avec les axes du repère.
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sos-math(27)
- Messages : 1427
- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: ellipse
Bonsoir Natacha,
Une fonction numérique ne peut avoir qu'une seule image pour chaque valeur de \(x\).
C'est pourquoi, pour une courbe telle que l'ellipse, si on veut utiliser les fonctions, il faut définir chaque demi-ellipse séparément.
C'est pourquoi le texte invite à prendre \(f_1(x)\) et \(f_2(x)=-f_1(x)\), les points \(M(x;f_1(x))\) et \(N(x;f_2(x))\) seront symétriques par rapport à l'axe des abscisse.
Reste à expliquer pourquoi \(f_1(x)\) a cette expression !! Il faut repartir de l'équation de départ, et essayer d'écrire \(y\) en fonction de \(x\) ...
J'espère que cela te permettra d'avancer.
Une fonction numérique ne peut avoir qu'une seule image pour chaque valeur de \(x\).
C'est pourquoi, pour une courbe telle que l'ellipse, si on veut utiliser les fonctions, il faut définir chaque demi-ellipse séparément.
C'est pourquoi le texte invite à prendre \(f_1(x)\) et \(f_2(x)=-f_1(x)\), les points \(M(x;f_1(x))\) et \(N(x;f_2(x))\) seront symétriques par rapport à l'axe des abscisse.
Reste à expliquer pourquoi \(f_1(x)\) a cette expression !! Il faut repartir de l'équation de départ, et essayer d'écrire \(y\) en fonction de \(x\) ...
J'espère que cela te permettra d'avancer.
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Natacha
Re: ellipse
merci.
J'avais déjà essayé d'exprimer y en fonction de x, je trouvais :
f(x)=Racine ((1/9) - (x²/225))
mais pas sûre de mon résultat ?
J'avais déjà essayé d'exprimer y en fonction de x, je trouvais :
f(x)=Racine ((1/9) - (x²/225))
mais pas sûre de mon résultat ?
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: ellipse
Bonjour,
tu as \(\dfrac{y^2}{9}=1-\dfrac{x^2}{25}\) donc en multipliant tout par 9, on a \(y^2=9\left(1-\dfrac{x^2}{25}\right)\) soit en mettant tout au même dénominateur, tu as \(y^2=9\left(\dfrac{25-x^2}{25}\right)\), il te reste à "extraire" le dénominateur puis à appliquer la règle \(y^2=a\) équivaut à \(y=\sqrt{a}\) ou \(y=-\sqrt{a}\) ce qui te donnera ta fonction \(f_1\) et ta fonction \(f_2\).
Bonne continuation
tu as \(\dfrac{y^2}{9}=1-\dfrac{x^2}{25}\) donc en multipliant tout par 9, on a \(y^2=9\left(1-\dfrac{x^2}{25}\right)\) soit en mettant tout au même dénominateur, tu as \(y^2=9\left(\dfrac{25-x^2}{25}\right)\), il te reste à "extraire" le dénominateur puis à appliquer la règle \(y^2=a\) équivaut à \(y=\sqrt{a}\) ou \(y=-\sqrt{a}\) ce qui te donnera ta fonction \(f_1\) et ta fonction \(f_2\).
Bonne continuation
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Natacha
Re: ellipse
merci j'ai réussi à terminer cette partie.
J'aborde maintenant la deuxième :
Soit M un point d’abscisse x de (E1).
On pose F le point de coordonnées (racine (a2-b2) ; 0) et F’ sont symétriques par rapport à O. F et F’ sont appelés les foyers de l’ellipse (E).
a) Donner les coordonnées de F et F’.
j'ai trouvé F (4;0) et F' (-4;0)
J'aborde maintenant la deuxième :
Soit M un point d’abscisse x de (E1).
On pose F le point de coordonnées (racine (a2-b2) ; 0) et F’ sont symétriques par rapport à O. F et F’ sont appelés les foyers de l’ellipse (E).
a) Donner les coordonnées de F et F’.
j'ai trouvé F (4;0) et F' (-4;0)
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Natacha
Re: ellipse
j'ai terminé la partie 1 et 2, je suis passée à la 3.
Soit M un point d’abscisse x de (E1).
On pose F le point de coordonnées (\(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\) ; 0) et F’ sont symétriques par rapport à O. F et F’ sont appelés les foyers de l’ellipse (E).
a) Donner les coordonnées de F et F’.
j'ai trouvé
F (4;0) et F' (-4;0)
b) Montrer que \(MF^{2}=(x-4)^{2}+9*(1-\frac{x}{5})^{2}=(5-\frac{4x}{5})^{2}\)
je pensais partir avec un point M (x;f1) et appliquer pythagore dans un triangle ?
Soit M un point d’abscisse x de (E1).
On pose F le point de coordonnées (\(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\) ; 0) et F’ sont symétriques par rapport à O. F et F’ sont appelés les foyers de l’ellipse (E).
a) Donner les coordonnées de F et F’.
j'ai trouvé
F (4;0) et F' (-4;0)
b) Montrer que \(MF^{2}=(x-4)^{2}+9*(1-\frac{x}{5})^{2}=(5-\frac{4x}{5})^{2}\)
je pensais partir avec un point M (x;f1) et appliquer pythagore dans un triangle ?
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sos-math(27)
- Messages : 1427
- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: ellipse
Bonjour Natacha,
Si \(F\) a pour coordonnées \((4,0)\) et \(M (x, f_1(x))\), tu n'as pas besoin d'autre chose pour calculer la distance \(MF^2\), il suffit d'appliquer la formule de la distance ...
à bientôt
Si \(F\) a pour coordonnées \((4,0)\) et \(M (x, f_1(x))\), tu n'as pas besoin d'autre chose pour calculer la distance \(MF^2\), il suffit d'appliquer la formule de la distance ...
à bientôt
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sos-math(27)
- Messages : 1427
- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: ellipse
Voici une illustration avec Geogebra ...
à bientôt
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Natacha
Re: ellipse
oui j'avais commencé avec la formule de la distance
\(MF = \sqrt{(xF-xA)^{2}+(yF-yA)^{2}}\)
\(MF^{2} = {(xF-xA)^{2}+(yF-yA)^{2}}\)
\(MF^{2} = (4-x)^{2} + (0-(\frac{3}{5} *\sqrt{25-x^{2}})\)
ce qui me perturbait c'est qu'on avait 4-x au lieu de x-4
\(MF^{2} = (4-x)^{2}+((\frac{9}{25})*(25-x^{2})) = (4-x)^{2}+ (9-(9x^{2}/25))\) ????????????????
\(MF = \sqrt{(xF-xA)^{2}+(yF-yA)^{2}}\)
\(MF^{2} = {(xF-xA)^{2}+(yF-yA)^{2}}\)
\(MF^{2} = (4-x)^{2} + (0-(\frac{3}{5} *\sqrt{25-x^{2}})\)
ce qui me perturbait c'est qu'on avait 4-x au lieu de x-4
\(MF^{2} = (4-x)^{2}+((\frac{9}{25})*(25-x^{2})) = (4-x)^{2}+ (9-(9x^{2}/25))\) ????????????????
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sos-math(27)
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- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: ellipse
Non, tu peux avoir \((x-4)^2\) ou \((4-x)^2\), ces deux expressions sont égales.
Cela dépend si tu calcule la distance \(MF\) ou la distance\(FM\), elles sont égales !!
Dans la réponse que tu donnes, tu peux encore développer et réduire.
Ensuite tu dois calculer \(MF'\) , non ?
Cela dépend si tu calcule la distance \(MF\) ou la distance\(FM\), elles sont égales !!
Dans la réponse que tu donnes, tu peux encore développer et réduire.
Ensuite tu dois calculer \(MF'\) , non ?