sens de variation u/v

[Charlotte]

Bonjour,
j'ai un DM à rendre et je bloque sur une question (2.b)
Je dois déterminer le sens de variation d'une fonction u/v : (1-x)/1+x^3
Je vais me servir de sa dérivée : 2x^3-3x²-1/3x² soit x²(2x-3)-1/3x²
Après je sèche...
Je n'arrive à me servir de la dérivée afin d'évaluer son signe pour trouver le trouver le sens de variation

Merci d'avance,
Charlotte

[SoS-Math(33)]

Bonjour Charlotte,
il te faut utiliser le résultat de la question 1) pour ta dérivée.

[Charlotte]

Mince, je n'avais pas fait le rapprochement
Faut-il que je calcule la dérivée de 2x^3-3x²-1 pour la 1. ? Du coup f ' ' (x) ?
Si j'ai bien, compris je n'évalue que le signe de l'équation dans le 1) en factorisant l'équation -> x²(2x-3)-1
je fais mon sens de variation de l'équation puis le TVI.
Pour la 2. b), je reprends mon tableau de signe en rajoutant mon dénominateur de ma nouvelle dérivée de f(x)
puis je multiplie les signes obtenues ce qui devrais me donner - sur ]-i;-1] et ]-1;+i[ et je pourrai donc en trouver la variation
C'est bien cela ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Charlotte,

Pour la question 1), je pense que tu dois étudier les variations de la fonction \(g(x)=2x^3-3x^2-1\) afin de montrer l'unicité de \(\alpha\)... Donc dériver la fonction g...

Pour la 2) b), tu as une erreur dans la dérivée :

\(f'(x)=\dfrac{2x^3-3x^2-1}{(1+x^3)^2}\)

Ensuite, tu peux effectivement étudier le signe du numérateur et du dénominateur.

Bon courage

[Charlotte]

Bonjour,
Je viens de terminer la question 1, cependant pour la 2.b) il y a quelque chose qui coince
je me suis servie du signe de g(x) (numérateur de f'(x) ) (image 1) et je l'ai "combiné" au signe du dénominateur donc + partout
logiquement je devrais obtenir deux - un sur ]-i;-1[ et sur ]-1;-i[ puisque c'est une fonction inverse (image 2 la fonction en bleu et en rouge sa dérivée f'(x))
mais la multiplication des signes ne me donnent pas du tout cela ?
(image 3)
Comment faire ? Ce n'est pas logique et je ne vois pas d'autre solution :/

[SoS-Math(25)]

Le numérateur de f' correspond à la fonction g et non pas g'. Il faut donc utiliser le signe de g dans le tableau de signe de f (et non g').

Bon travail !

[Charlotte]

Ok, je l'ai ! Merci beaucoup,
Seul petit bémol, grâce à la factorisation j'obtiens ça
mais dois-je prendre en compte le -1 au numérateur
Sans cela, ça ne colle pas

[SoS-Math(25)]

Il te faut faire entièrement la question 1) c'est à dire dérivée puis tableau de variation de \(g(x)=2x^3-3x^2-1\).

\(x^2(2x-3)-1\) n'est pas une forme factorisée de g(x) car ce n'est pas un produit. Tu ne peux donc pas appliquer la règle des signe (à cause du -1...)

Bon courage

[SoS-Math(25)]

Je vois que tu as déjà le tableau de variation de g donc tu peux connaitre son signe.

A bientôt

[Charlotte]

En disant que comme la fonction g(x) a un extremum négatif égal à -1 la fonction g(x) est négative ?
Et le minima ?

[SoS-Math(25)]

-1 est un maximum local, non global. Regarde la question 1) et place à peu près \(\alpha\) dans le tableau de variation de g, tu pourras en déduire le signe de g (qui dépend de \(\alpha\))

A bientôt

[Charlotte]

alpha est compris entre 1 et 2, plus précisément entre 1.6 et 1.7 et donc entre [f(1);f(2)]... (soit -2;3)
donc g est du signe - puisqu'il touche -2 ?

[SoS-Math(25)]

\(\alpha\) est compris entre 1,6 et 1,7 et \(f(\alpha)=0\)... si tu regardes ton tableau de variation, g change de signe une seule fois..

[Charlotte]

donc alpha est négatif avant qu'il ne change de signe vers + ? C'est ça ?
Comme 1.6<a<1.7 et qu'il y a changement de signe à 1.7 de - à +, alors a est négatif donc f(x) l'est aussi ?

[SoS-Math(25)]

donc alpha est négatif avant qu'il ne change de signe vers + ? C'est ça ?

Non, \(\alpha\) est compris entre 1,6 et 1,7

Place \(alpha\) dans le tableau de variation de g sachant que \(g(\alpha)=0\) (\(alpha\) est un antécédent de 0 par g