Suite

[Thomas]

Bonsoir,
je suis bloqué sur un exercice, voici l’énoncé:
La suite (Un) est définie pour tout entier naturel n non nul par Un=n!/n^n où n!=1*2*3*...*n.
1. justifiez que pour tout entier naturel non nul n, 0<Un⩽1/n
2. quel est le comportement en +∝ de la suite (Un)

Pour le 1. j'étais parti sur une démonstration par récurrence mais je ne pense pas que ce soit qu'il faille faire.

[sos-math(27)]

Bonsoir Thomas,
Il est clair que la suite est strictement positive.

Je pense qu'on peut tenter une démonstration directe en écrivant \(u_n\) sous forme d'un produit particulier.
en effet, on peut écrire que \(n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1\)
et \(n^n=n \times n \times n \times ... n \times n\) ( \(n\) fois)

Quand on fait le quotient, on peut alors "séparer" numérateur et dénominateur en produit de fractions.
Reste à savoir si ces fractions peuvent être majorées ?
Je te laisse écrire et continuer le raisonnement.
à bientôt

[thomas]

Si je comprend bien il faut que j'écrive : n×(n−1)×(n−2)×...×2×1/n×n×n×...n×n
=n/n ( soit 1) * (n−1)×(n−2)×...×2×1/n^n
mais ensuite...?

[sos-math(27)]

Il faut écrire comme un produit de \(n\) fractions du type \(\frac{p}{n}\) où \(p\) sera inférieur à \(n\),
on pourra alors faire une comparaison ... je te laisse rédiger !
à bientôt