DM sur le produit des racines d'un polynôme de degré 2

[SoS-Math(9)]

Yann,

On a montré que le système $\begin{cases} & u+v=S \\ & uv=P \end{cases}$ était équivalent à $\begin{cases} & v=S-u \\ & u^2-Su + P = 0 \end{cases}$.
Peut-être que cela va t'aider ?

SoSMath.

[yann]

Bonjour,


à la question 1°) montrer que les polynômes $f_1$ et $f_2$ définies pour tout $x \in R$ par $f_1 = 2x^2 - 3x + 1$

et par $f_2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ ont les mêmes racines

Le calcul montre que les racines des deux polynômes sont bien $1\quad$ et $\quad \frac{1}{2}$

mais je ne vois pas comment prouver que $2x^2 - 3x + 1$ et $x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ ont les mêmes racines

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[SoS-Math(33)]

Bonjour,
je comprends pas bien ta question.
Tu as trouvé les mêmes racines aux deux polynômes donc tu as répondus à la question.

[yann]

Bonjour sos math

pour la 1 ) j'ai bien trouvé les mêmes valeurs pour les 2 polynômes mais le professeur nous a dit que ce n'était pas , selon lui, une réponse suffisante car il faut démontrer, je vais encore chercher

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour prouver que les deux polynômes ont les mêmes racines, tu peux aussi prouver que tes deux fonctions sont proportionnelles, c'est à dire qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $f_1=k\times f_2$.
Quand tu regardes les coefficients des deux polynômes, tu trouves facilement le nombre $k$.
Cela prouve que les polynômes ont les mêmes racines car $\alpha$ est une racine de $f_1$ signifie que $f_1(\alpha)=0$ ce qui est équivalent à $k\times f_2(\alpha)=0$ ce qui est équivalent à $f_2(\alpha)=0$ ce qui est équivalent au fait que $\alpha$ est aussi une racine de $f_2$.
On ne peut pas dire beaucoup plus...
Bonne continuation

[yann]

Bonsoir sos math (21)

j'ai factoriser $2x² - 3x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right]$

ainsi il existe un réel $k = 2$ tel que $f_1(x) = 2 \times f_2(x)$

est-ce que c'est suffisant pour démontrer la proportionnalité ?

[yann]

Bonsoir

j'ai souvent des difficultés pour la rédaction , ( pour être sur ) je propose:

$f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1$

$f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$


comme $2x^2 - 3x + 1 = 2 \left[x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right]$ alors je peux écrire que $f_1(x) = 2 \times f_2(x)$


$x_1$ et $x_2$ sont les racines de $f_1(x)$


donc $f_1(x) = 0$


$f_1(x_1) = 0$<=>$2(x_1)^2 - 3(x_1) + 1 = 0$ <=> $2\left[x_1^2 - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2} \right] = 0$ <=> $x_1^2 - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2} = 0$<=> $f_2(x) = 0$


c'est peut-etre un peu long comme démonstration, qu'en pensez - vous ?
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[SoS-Math(31)]

Bonjour yan

Bonsoir sos math (21)

j'ai factoriser $2x² - 3x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right]$

ainsi il existe un réel $k = 2$ tel que $f_1(x) = 2 \times f_2(x)$

est-ce que c'est suffisant pour démontrer la proportionnalité ?

Oui, l'égalité est vraie pour tout x, donc il y a proportionnalité.

[SoS-Math(31)]

x est racine de f1 si et seulement si f1(x) = 0 ce qui équivaut à f2(x) = 2 f1(x) = 0 donc à x est racine de f2

[yann]

Bonsoir sos math (31)



on a $f1(x) = 2x^2 - 3x + 1$ et $f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2} x+ \frac{1}{2}$

et vous avez mis : x est racine de f1 si et seulement si f1(x) = 0 ce qui équivaut à f2(x) = 2 f1(x) = 0 donc à x est racine de f2

ce n'est pas plutôt : x est racine de f1 si et seulement si f1(x) = 0 ce qui équivaut à f1(x) = 2 f2(x) = 0 donc x est racine de f2

[SoS-Math(34)]

Bonjour Yann

vu tes notations pour f1 et f2 et sachant que f1(x) = 2f2(x) pour tout réel x :
"x est racine de f2 si et seulement si f2(x) = 0 ce qui équivaut à f1(x) = 2*f2(x) = 0 donc x est racine de f1"

Bonne recherche
sosmaths

[yann]

Bonjour Sos math (34)

dans l'énoncé , c'est $f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1$

et $f_2(x) = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

[yann]

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je dois arrivé à $f_1(x) = 0$ <=> $f_2(x) = 0$

si je pars de $f_1(x) = 0$

il faut que j'indique la raison pour laquelle $f_1(x) = 0$

c'est à dire que $x_1$ et $x_2$ sont bien les racines

donc ça c'est (un peu) ce que je qualifie de première étape


ensuite j'ai pensé écrire $2x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$<=> $2 \times \left[x_1^2 - \frac{3}{2} x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0$ <=> $f_2(x_1) = 0$

donc $f_2(x)$ a la même racine que $f_1(x)$


je ne sais pas ce que vous en pensez ?
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[SoS-Math(33)]

Bonjour,
ce que tu écris est tout à fait correct, mais faut le faire dans le cas génèral.
Tu as montré que $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de $f_1(x)$ maintenant il suffit d'écrire :

$f_1(x)=0$ <=> $2x^2 - 3x + 1 = 0$<=> $2 \times \left[x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}\right] = 0$ <=> $f_2(x) = 0$

donc $f_2(x)$ a les mêmes racines que $f_1(x)$

[yann]

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$f_1(x)= 0 \quad ....\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad.....$ $\quad f_2(x)= 0$


tout ce qu'il y a entre les , c'est ce qui sert à démontrer la proportionnalité des deux fonctions, enfin c'est ce dont parler sos math (21) un peu plus haut


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