somme

[CORALIE]

Bonjour,
je dois calculer la somme : 7 + 7/5 + 7/5²+...+7/5¨N;
Pouvez vous m'aider ?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Coralie,
Cette somme est la somme des termes consécutifs d'une suite particulière u$_{n}=7*(\frac{1}{5})^{n}$
Quelle est la nature de la suite n ?

[CORALIE]

Comme il y a une multiplication, c'est une suite géométrique. Pour le premier terme, je remplace n par 0 et je trouve 7. Je pense qu'alors la raison est l'autre nombre 1/5.
Mais je ne suis pas sûre.

[SoS-Math(31)]

Oui, Coralie, ton calcul du premier terme est bon. Tu vois que tu le multiplie toujours par 1/5 car le deuxième terme est 7/5 = 7 * (1/5) et le troisième est 7/5² = 7 * (1/5)² et le suivant $\frac{7}{5^{3}}=7*(\frac{1}{5})^{3}$.
u est bien géométrique de raison 1/5.

Maintenant la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est premier terme * $\frac{1-raison^{nombre de termes}}{1-raison}$ .
Combien a-t-on de termes dans somme ? Essayes d'appliquer ensuite la formule précédente.

[CORALIE]

Merci, j'ai compris maintenant d'où vient la raison.
Je pense que le nombre de termes est n et la somme est alors 7 * (1-(1/5°^n)/(1-1/5) + 35( 1-(1/5)^n)/4;

[SoS-Math(31)]

si n = 1 alors la somme vaut 7 + 7/5 ; il y a deux termes dans cette somme.
si n = 2 alors la somme vaut 7 + 7/5 + (7/5)² ; il y a trois termes dans cette somme.
Dans ta somme, il y a donc n + 1 termes. Le reste de ton calcul est bon, il faut juste remplacer n par n+1
$35\frac{1 - (1/5)^{n+1}}{4}$
Bonne journée.