suites

[Maxime]

Bonjour, j'ai un problème sur un de mes dm. Je dois calculer une équation, mais je me retrouve bloqué dans mes calculs. Voici la question et mon avancement:
Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 3, 3+ ((2 exposant n-1) -1)/ 2 exposant n-1 = (8 x 2 exposant n-1) -1/ 2 exposant n-1
Voici là où j'en suis:
Pour tout n supérieur ou égal à 3,
3+ ((2 exposant n-1) -1)/ 2 exposant n-1
= 3(2 exposant n-1)/ 2 exposant n-1 + (2 exposant n-1) -1/ 2 exposant n-1
= 3(2 exposant n-1) + 2 exposant n-1 -1/ 2 exposant n-1

Et je suis bloqué là je n'arrive pas à simplifier la multiplication entre 3 et 2 exposant n-1. J'ai mis une photo du calcul, parce que je reconnais que celui écrit n'est pas très explicite.
Merci.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir,

Pour continuer ton calcul, remarque que 3x+x = 4x pour tout réel x.
Applique cette simplification pour x = 2^(n-1).
Remarque ensuite que 4 est une certaine puissance de 2...

Bonne recherche
sosmaths

[Maxime]

Bonsoir,
je ne comprends pas bien votre aide. Je dois arriver à la fin avec une formule qui comporte des puissances n-2, et ce qui me bloque est d'abord la multiplication au numérateur.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu dois avoir \(\dfrac{3\times 2^{n-1}+2^{n-1}-1}{2^{n-1}}=\dfrac{3\times \overbrace{2^{n-1}}^{commun}+1\times \overbrace{2^{n-1}}^{commun}-1}{2^{n-1}}\)
Et tu peux donc ensuite factoriser :
\(\dfrac{3\times 2^{n-1}+2^{n-1}-1}{2^{n-1}}=\dfrac{2^{n-1}(...+...)-1}{2^{n-1}}\)
En revanche, si tu veux avoir un 8, il faudra effectivement avoir \(2^{n-2}\).
Es-tu sûr de ton énoncé ?
Telle qu'elle écrite, cette égalité est fausse...
Bonne continuation