suite de fibonacci

[Thomas]

Bonsoir,

Je fais un exercice sur les suites de Fibonacci et je bloque à la récurrence de la question 2.
Voici ce que j'ai commencé.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Thomas,

Pour l'hérédité de ta récurrence, ton hypothèse est : $u_{n+1}u_{n-1} - u_{n}^2=(-1)^n$.
Donc il faut montrer que $u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=(-1)^{n+1}$.

Commence alors par calculer $u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=...$.
Il faudra utiliser le fait que $u_{n+2}=u_{n+1} + u_{n}$ et $u_{n+1}=u_{n} + u_{n-1}$.


SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

J'ai remplacé les expressions mais je ne vois pas comment continuer.
Voici ce que j'ai fait.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on utilise la relation de récurrence de la suite $u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}$ puis développer et voir ce qui peut s'arranger :
$u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=(u_{n+1}+u_n)u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_n^2-u_{n+1}^2$
Or par hypothèse de récurrence, on a $u_{n+1}u_{n-1}-u_n^2=(-1)^n$ donc $u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}-(-1)^n$ ce que l'on peut écrire $u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}$ donc en remplaçant dans l'expression de départ :
$u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2$
Il reste à factoriser par $u_{n+1}$ (les deux premiers termes) et refaire fonctionner la relation de récurrence de la suite : on aura deux termes qui vont s'annuler et il ne restera que $(-1)^{n+1}$ ce qui prouvera l'égalité au rang $n+1$.
Bon courage

[Thomas]

Bonjour,

Je comprends votre démarche, mais je ne vois pas comment factoriser.
Voici ce que j'ai fait.
Merci d'avance de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Thomas,

voici la factorisation : $u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2 = u_{n+1}(u_n+u_{n-1}-u_{n+1})+(-1)^{n+1}$.

Or $u_{n+1} =u_n+u_{n-1}$ ….
Je te laisse terminer.

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

J'ai essayé de factoriser, mais je ne suis pas sûr que ce soit correct ...
Pouvez-vous me corriger ?

Merci d'avance.

[SoS-Math(30)]

Tout a été détaillé dans les messages de mes collègues.

Thomas1.png (13.62 Kio) Vu 8724 fois

Quand tu passes de la première ligne à la deuxième, tu soustrais $(-1)^{p}$. Donc dans la deuxième ligne il devrait y avoir $-(-1)^{p}$ ce qui est égal à $+(-1)^{p+1}$.
Ceci rectifie l'incohérence entre les 1ère et 2ème lignes de ce qui suit.

Thomas2.png (39.83 Kio) Vu 8724 fois

Quand tu passes de la 2ème à la 3ème ligne, la relation de récurrence n'est pas à utiliser dans le premier facteur (il faudrait d'ailleurs des parenthèses autour de $u_{p}+u_{p-1}$ pour que ce soit correct dans la 3ème ligne) mais dans la parenthèse où il me semble (on ne voit pas très bien ta feuille même en zoomant) qu'en passant de la 2ème à la 3ème ligne, un indice p-1 s'est transformé en p+1...). C'est la parenthèse qui va alors s'annuler.

Essaie de reprendre cela. Tous les éléments de réponse t'ont été donnés.

SoSMath

[Thomas]

Bonsoir,

J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'arrive toujours pas à finir ma récurrence.
Voici ce que j'ai fait.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

Il faut calculer $u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2$ et montrer que tu trouves $(-+1)^{p+1}$

Pourquoi calcules-tu $u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2$ ?

Recommence tes calcules !

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

Excusez moi, mais j'ai l'impression que vous ne me dîtes jamais la même chose.
Avant une partie de ma récurrence était faute, maintenant c'est la récurrence entière ?
De plus, je pense suivre ce qui m'a été dit le dimanche 3 Juin 2018 à 10:03 ?

[SoS-Math(9)]

Thomas,

le 3 Juin 2018, je répondais à ta demande de factorisation .... et non sur la récurrence !
De plus, je n'ai pas dit que ta crécurrence était entièrement fausse ...
Il faut simplement faire le bon calcul dans l'hérédité ....
Ton hypothèse de récurrence est $u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2=(-1)^n$.
Il faut alors calculer $u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2$, pour trouver $(-1)^{n+1}$.

Je te rappelle que $u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}$.

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

J'ai tout supprimé, pour mieux recommencer.
Voici où je bloque !

[SoS-Math(9)]

Thomas,

voici le début du calcul :

$u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2 = (u_{p+1}+u_{p})u_{p}-u_{p+1}^2$ car $u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}$.
= $u_{p+1}u_{p} + u_{p}^2 - u_{p+1}^2 = u_{p+1}(… - …) + u_{p}^2 =...$

Je te laisse terminer.

Je te rappelle que

[Thomas]

Bonjour,

Je suis toujours bloqué, voici ce que j'ai fait ...