Fonction exponentielle

[SoS-Math(33)]

Oui il faut dériver la fonction auxiliaire puis étudier son signe, ce qui donnera le signe du numérateur de la dérivée.

[Thomas]

J'ai fait le tableau de variation, mais je ne vois pas comment finir la question ...

[SoS-Math(33)]

Il y a une erreur dans le calcul de la dérivée.
$(e^x-1-xe^x)' = e^x-(e^x+xe^x)= e^x-e^x-xe^x= -xe^x$

[Thomas]

Je ne comprends pas le passage de la première à la deuxième étape. Pouvez vous détailler ?

[SoS-Math(33)]

$(e^x)' = e^x$
$(xe^x)'$ forme $(uv)' = u'v+v'u$ avec $u=x$ donc $u'=1$ et $v=e^x$ donc $v' = e^x$
donc $(xe^x)' = e^x +xe^x$

[Thomas]

J'ai fait un tableau de variation correct mais je ne vois pas comment continuer.

[SoS-Math(33)]

D'après ton tableau de variation la fonction a un maximum qui est égal à 0 donc la fonction est négative.
Cette fonction étant le numérateur de ta fraction tu en déduis le signe de la fraction donc de la dérivée.

[Thomas]

Est-ce tableau de variation car d'après ma calculatrice il n'est pas correct ?

[SoS-Math(33)]

Tu as $f(x) = \frac{x}{e^x-1}$
qui donne $f'(x) = \frac{e^x-1+xe^x}{(e^x-1)^2}$
tu as étudié $e^x-1+xe^x$ et tu as trouvé que c'était $\leq0$
donc tu en déduis que $f'(x)<0$ ce qui donne que $f$ est décroissante sur $R$

[Thomas]

C'est bien ce que je trouve, elle est décroissante !

Je ne comprends pas pourquoi le mode GRAPH de ma calculatrice me montre que la fonction est croissante.

[SoS-Math(9)]

Thomas,

tu as du te tromper lorsque tu a entré l'équation de f.

SoSMath.