Fonction exponentielle

[Thomas]

Bonsoir,

Je pense avoir fini l'exercice. Qu'en pensez-vous ?

Merci de votre aide.

[SoS-Math(33)]

Thomas je suis d'accord avec ta résolution pour l'inéquation mais ton intervalle solution n'est pas le bon.
Ce serait plutôt : ]3 ; 4]

[Thomas]

Oui, en effet j'avais oublié cette condition x <= 4 ...

Je fais un nouvel exercice sur les exponentielles, et je n'arrive pas à le finir.
Voici mon raisonnement et l'exercice.

Merci d'avance de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Thomas,

Pourrais-tu créer un nouveau message lorsque tu changes d'exercice ?
Cela serait plus simple pour les élèves qui consultent le site.

Pour ton exercice, maintenant que tu as la dérivée, il faut étudier son signe pour obtenir les variations ...

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

C'est justement ça le problème, je ne vois pas comment calculer le signe de la dérivée à cause -a.

Merci d'avance pour vos explications.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

tu vas avoir le paramètre \(\alpha\).
\(f'(x)>0\)
<=> \(\frac{2x^2-\alpha}{x}>0\)
<=> \(2x^2-\alpha >0\) car x > 0
<=> ...

Je te laisse terminer.

SoSMath.

[Thomas]

J'ai calculé le discriminant mais je trouve un résultat incohérent, et a ne peut pas être compris entre 0 et l'infini ...

Voici ce que j'ai fait ...

[SoS-Math(33)]

Bonjour Thomas,
mon collègue t'a donné le début :

\(f'(x)>0\)
<=> \(\frac{2x^2-\alpha}{x}>0\)
<=> \(2x^2-\alpha >0\) car x > 0
si on poursuit
<=> \(x^2 - \frac{\alpha}{2} >0\)
<=> \((x - \sqrt{\frac{\alpha}{2}})(x + \sqrt{\frac{\alpha}{2}}) >0\)
Il te reste à faire le tableau de signe pour la dérivée

[Thomas]

Bonjour,

Je ne vois pas quel est le signe du premier produit ...

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton premier facteur est une expression du premier degré avec un coefficient directeur positif (\(x\), c'est \(1\times x\)). Elle s'annule en \(x=\sqrt{\dfrac{\alpha}{2}}\) et comme le coefficient directeur et positif, l'expression est négative avant \(\sqrt{\dfrac{\alpha}{2}}\) et positive après.
Le deuxième facteur s'étudie de la même manière.
Bonne continuation

[Thomas]

J'ai fait le tableau de variation, mais je ne vois pas comment conclure.

[sos-math(27)]

Bonjour Thomas,
il faut maintenant préciser le minium de la fonction, c'est à dire calculer \(f(\sqrt{\frac{\alpha}{2}})\) en valeur exacte ... il faudra utiliser les propriétés de la fonction logarihtme.
Pour t'aider je te donne une propriété qui sera utile : \(ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2} ln(a)\) pour un réal positif !
à bientôt

[Thomas]

Bonjour,

Je ne vois pas du tout comment passer de cette formule à racine de a sur 2 ...

Merci d'avance pour vos explications

[sos-math(27)]

Il faut écrire la valeur du minimum \(f(\sqrt {\frac{\alpha}{2}})\) puis que justement tu veux qu'il soit positif !!
Tu pourras ensuite résoudre une inéquation avec \(\alpha\)
à bientôt

[Thomas]

Faut-il résoudre l'inéquation : x² -a ln(x) > 0

Je ne vois pas comment faire ...