Dérivabilité d’une fonction

[Matthieu]

Je continue l'exercice mais je n'arrive pas à faire la question 4.

Hormis mettre 2ax -a² = 4x-4.
Je ne vois pas comment continuer ...

[SoS-Math(9)]

Matthieu,

D'où vient le "4x-4" ? ce n'est pas l'équation de la tangente à la courbe de g ....

Ensuite, deux droites sont confondues si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.

SoSMath.

[Matthieu]

Bonsoir, g(x) = 4 ln(x), et on a x = 1 d'après le théorème de la bijection.

Donc y =4x -4 ? ( Je viens de vérifier à la calculatrice et cela semble être vrai).

[SoS-Math(9)]

Matthieu,

L'équation de la tangente en \(\beta\) est \(y=g'(\beta)(x-\beta)+g(\beta)\) et \(\beta \neq 1\).

SoSMath.

[Matthieu]

Bonjour,

J'ai suivi vos instructions, mais je n'arrive pas à finir la question 4 ...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

Tu n'as pas fait tout ce que j'ai dit !
Tes tangentes ont le même coefficient directeur, donc \(2\alpha = \frac{4}{\beta}\).
Même ordonnée à l'origine, donc ....

Je te laisse terminer.

SoSMath.

[Thomas]

Je pense ne pas avoir compris ce que vous avez dit ...
Voici une photo de mon raisonnement

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu dois avoir les deux équations suivantes :
\(y=-2\alpha x-\alpha^2\) et \(y=\dfrac{4}{\beta}x-4+4\ln(\beta)\)
tu identifies les coefficients 2 à 2 :
- coefficients directeurs \(2\alpha=\dfrac{4}{\beta}\) ce qui donne aussi \(\alpha=\dfrac{2}{\beta}\)
- ordonnées à l'origine : \(-\alpha^2=-4+4\ln(\beta)\)
Il te suffit alors de remplacer \(\alpha\) par \(\dfrac{2}{\beta}\) dans la deuxième équation et tu te retrouveras avec l'équation que tu as résolue dans la question 1 (bizarrement).
Tu obtiendras ensuite la solution.
Bonne résolution

[Thomas]

Bonjour,

Je ne vois absolument pas comment résoudre cette équation (voir fin de photo).

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu lises mes messages jusqu'au bout :
Si tu passes tout dans le membre de droite et tu as \(0=4\ln(\beta)+\dfrac{4}{\beta^2}-4\) soit en simplifiant par 4 \(\ln(\beta)+\dfrac{1}{\beta^2}-1=0\)
ce qui signifie aussi \(\varphi(\beta)=0\) : OR tu as déjà résolu cette équation dans la question 1.
Il te reste à exploiter ton résultat.
Tu noteras au passage la construction de l'exercice qui te demande de faire quelque chose qui te resservira plus tard dans l'exercice : c'est important de faire le lien entre les questions... rien n'est demandé au hasard.
Bonne continuation

[Thomas]

Bonjour,

Je comprends maintenant mieux vos explications, mais je n'arrive pas à trouver la tangente commune.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Thomas,

L'équation φ(β)=0 a déjà été résolue, donc tu connais la valeur de β.
cela te permet de calculer α=2/β
Reprends ensuite tes équations de tangentes en remplaçant α et β par leur valeur et tu verras que tu obtiens une même équation dans les deux cas : celle d'une tangente commune aux deux courbes.

Bonne recherche
SOsmaths

[Thomas]

Bonjour,

J'ai trouvé le coefficient de la tangente mais pas son ordonnée à l'origine.
Voici ce que j'ai fait ...

Merci de votre aide.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Thomas,
Comme tu viens de trouver a le coefficient directeur de cette tangente, l'équation est de la forme y =ax +b.
Pour trouver l'ordonnée à l' origine b tu sais que les deux tangentes passent par le point A(xA; yA)
alors yA = a xA + b donc b = yA - axA.
tu n'as plus qu'à remplacer par les résultats que tu as trouvé.

[Thomas]

Bonjour,

Je ne comprends pas. Qu'est ce que A. Est ce 0 ? car 1/B² - 1 +ln B = 0
Merci de m'éclairer.