Dérivabilité d’une fonction

[Matthieu]

Bonjour,

Je fais un exercice avec un algorithme et je n'arrive pas à trouver une réponse correcte.
Voici l'exercice et mes réponses.

Merci d'avance.
A bientôt !

[SoS-Math(34)]

Bonjour Matthieu,

Ta méthode est bonne à la première question mais on te demande de prouver que f est STRICTEMENT croissante sur [1;2]. Observe sa dérivée f' et explique pourquoi elle est STRICTEMENT positive.
La stricte croissance est importante pour la question 2° et le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires). Dans cette question, indique dans ta conclusion à quel intervalle appartient alpha.

Je continue à lire ton travail et rédige la suite de ma réponse...

[SoS-Math(34)]

A la 3ème étape, quand tu calcules f(1,75)f(1,875), le résultat est négatif donc les deux images sont de signes contraires et par conséquent f(1,75)<0 et f(1,875)>0 (par croissance de f) donc la solution alpha de l'équation f(x) = 0 et d'après le théorème de la bijection localisée dans l'intervalle [1,75;1,875]... et pas dans [1,875;2] ce qui correspond dans l'algorithme à :
si f(a)f(m)=<0, b<-m (mettre m dans b, autrement dit, conserver a et remplacer la valeur b par celle de m dans l'intervalle d'étude).
Ceci explique l'erreur dans la conclusion.
Je te laisse reprendre ton travail...et vérifier avec la courbe de f et le menu GSOLV, root la cohérence de ton résultat final.

Bonne recherche
Sosmaths

[Matthieu]

Bonsoir,

Je pense avoir corrigé mes erreurs pour les deux premières questions, mais pas pour la troisième. Qu'en pensez-vous ?

[Matthieu]

Bonjour,

Je pense avoir corrigé mes erreurs pour la question, mais je ne suis pas sûr pour la question 3.
Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as toujours une erreur sur ton enchaînement : tu dois aller vers l'intervalle \([1,75\,;\,1,875]\) puis en prendre le milieu m=1.8125 et cela doit arrêter la boucle car on obtient b=m=1.875 et dans le test suivant, on a b-a<0.1 donc ton programme doit s'arrêter à la 4 ème itération et doit afficher 1.8125.
Bonne continuation

[Matthieu]

Bonsoir,

Donc si je comprends bien, on doit trouver cela.

A bientôt !

[sos-math(21)]

Bonjour,
je n'arrive pas très bien à lire mais il me semble que tu as fait une erreur : lorsque tu obtiens comme milieu la valeur 1,875, sachant que f(1,875)>0, tu dois avoir b=1,875, c'est-à-dire que ce nombre doit devenir la borne supérieure de ton intervalle, or il me semble que tu gardes toujours 2...
Peux-tu clarifier cela ?
Bonne continuation

[Matthieu]

Bonjour,

Je pense ne pas avoir compris l'algorithme.
Voici une photo de ce que j'ai su comprendre ...

A bientôt !

[SoS-Math(30)]

Bonjour Mathieu,

Tes étapes 1 et 2 sont correctes.
A l'étape 3, tu vas trop vite : l'intervalle [a;b] correspond à ton nouvel intervalle de l'étape 2, autrement dit [1,75 ; 2].
Dans cet intervalle, le milieu m est 1,875, le test f(a)f(m) < 0 est positif donc le nouvel intervalle est [1,75 ; 1,875]. La condition b - a > 0,1est remplie donc la boucle tant que se poursuit.
On arrive à l'étape 4 avec le nouvel intervalle de l'étape 3 : [1,75 ; 1,875].
Je te laisse reprendre et finir.

SoSMath

[Matthieu]

Bonsoir,

Je ne suis toujours pas sûr de comprendre ...
Voici une photo de ce que je pense saisir.

A bientôt !

[SoS-Math(30)]

Oui, c'est ça Mathieu.
Pour l'étape 4, on peut préciser le nouvel intervalle dont l'amplitude est inférieure à 0,1 ce qui fait stopper la boucle tant que : [1,75 ; 1,8125] (amplitude égale à 0,0625 < 0,1).

SoSMath

[Matthieu]

Bonjour,

Je fais un nouvel exercice, et je ne suis pas sûr de mon raisonnement. D'ailleurs, je trouve un résultat, mais je ne sais pas quoi en faire ...

Merci d'avance de votre aide.
A bientôt !

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton taux d'accroissement est égal à \(\sqrt{x}\) donc \(\lim_{x\to 0, x>0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0, x>0}\sqrt{x}=0\) donc comme cette limite est une valeur réelle, f est dérivable en 0 et \(f'(0)=0\).
Bonne conclusion

[Matthieu]

Donc si je comprends bien, on doit faire cela ...