Pentagone dans cercle trigonométrique

[Fialka]

Bonjour,
J'ai un exercice de mathématiques qui me pose quelque problème. Voici l'énoncé :

"On considère le pentagone régulier ABCDE inscrit dans le cercle trigonométrique.
1.Justifier que (OA,OB)=2π/5 (2π)
(OA,OC)=4π/5 (2π)
(OA,OD)=6π/5 (2π)
(OA,OE)=8π/5 (2π)
Ce sont des vecteurs.
2.En déduire les coordonnées de A,B,C,D et E puis celle de V=OA+OB+OC+OD+OE
V est un vecteur.
3.Montrer que (OB+OE) et (OC+OD) sont colinéaires à OA, puis que V est colinéaire à OA
On admet que V est aussi colinéaires à OB, OC, OD, et OE.
Ce sont tous des vecteurs
4.En déduire que:
a)OA+OB+OC+OD+OE=0 Tous des vecteurs
b)1+2cos2π/5+2cos4π/5=0
5. a)En déduire que cos2π/5 est solution de l'équation 4x²+2x-1=0
b)Déterminer alors la valeur exacte de cos2π/5 "

J'ai réussi à faire la question 1 et la question 2 où j'ai trouvé que V(1+Cos(2Pi/5)+Cos(4Pi/5)+Cos(6Pi/5)+Cos(8Pi/5); Sin(2Pi/5)+Sin(4Pi/5)+Sin(6Pi/5)+Sin(8Pi/5)) (Est-ce que je dois laisser les coordonnées du vecteurs comme cela pour l'instant ou les simplifier ?)
Mais je bloque pour la question 3 et ,de ce fait, pour les questions suivantes voilà ce que j'ai fait pour l'instant:
OB et OE sont symétriques par rapport à OA et que par conséquent (OB,OA)+(OA,OE)=(OB+OE) donc (OB+OE) est colinéaire à OA
(de même pour (OC+OD)) Est ce que vous pensez que la justification est complète ?
Par contre je n'arrive pas à montrer que le vecteur V est colinéaire au vecteur OA ...

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à comprendre la démarche à suivre pour y répondre ?
Merci d'avance, pour votre aide !

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Fialka,

Je suppose que le repère est le repère orthonormé direct (O, A, J).
Les coordonnées du vecteur V sont alors correctes, mais il reste à les simplifier ce qui est l'objet de la suite.
Par exemple, -2pi/5 est une autre mesure de l'angle orienté de vecteurs (OA, OE) car 8pi/5 - (-2pi/5) = 10pi/5 = 2pi
Tu as donc cos(8pi/5)=cos(-2pi/5)... et après, il reste à utiliser cos(-x) = cos(x).
Même chose pour les ordonnées avec sin(-x) = -sin(x).

Même méthode pour 4pi/5 et 6pi/5.

cela te permettra de prouver les résultats pour les questions suivantes.

Bonne recherche
Sosmaths

[Fialka]

Je suppose que le repère est le repère orthonormé direct (O, A, J).
Les coordonnées du vecteur V sont alors correctes, mais il reste à les simplifier ce qui est l'objet de la suite.
Par exemple, -2pi/5 est une autre mesure de l'angle orienté de vecteurs (OA, OE) car 8pi/5 - (-2pi/5) = 10pi/5 = 2pi
Tu as donc cos(8pi/5)=cos(-2pi/5)... et après, il reste à utiliser cos(-x) = cos(x).
Même chose pour les ordonnées avec sin(-x) = -sin(x).
Même méthode pour 4pi/5 et 6pi/5.
Sosmaths

Bonjour, merci pour votre réponse,
Je ne suis pas sure d'avoir bien compris votre méthode ( ce n'est pas 2pi/5 au lieu -2pi/5 ?)
Mais si j'ai bien compris, après simplification je devrais trouver: V(1+2cos2pi/5+2cos6pi/5;0+sin2pi/5-sin6pi/5+sin6pi/5-sin2pi/5) soit V(0;0).
C'est cela ?
Merci d'avance pour votre aide !

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Fialka,

Non, relis ma réponse, j'ai expliqué pourquoi -2pi/5 est une autre mesure de l'angle orienté (OA,OE) dont la mesure qui t'est donnée dans le texte est 8pi/5. Je te rappelle qu'un angle orienté a une infinité de mesure en radians. Puisque 2pi est la longueur/périmètre du cercle trigonométrique, si x est une mesure d'un angle orienté, x + 2pi*k avec k entier est aussi une autre mesure de cet angle.

Je relis ta réponse pour les coordonnées de V.

[SoS-Math(34)]

Je reprends ce que tu avais écrit initialement et qui était correct.
V(1+Cos(2Pi/5)+Cos(4Pi/5)+Cos(6Pi/5)+Cos(8Pi/5); Sin(2Pi/5)+Sin(4Pi/5)+Sin(6Pi/5)+Sin(8Pi/5))
Maintenant, il faut simplifier chaque coordonnée.

Pour les ordonnées, sin(-x) = - sin(x) permet d'éliminer un certain nombre de termes...et effectivement on trouve 0.
Pour les abscisses 1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(6pi/5) (le dernier terme est aussi 2 cos(4pi/5)).
rien pour le moment n'indique que cela donne 0... ce sera démontré par la suite.

Bonne recherche
sosmaths

[Fialka]

D'accord je vous remercie pour votre aide.
Bonne journée !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Fialka.

SoSMath.