Intégrales

[Manon]

Bonjour, j’ai un DM à faire et je bloque sur plusieurs questions. Est ce que vous pouvez m’aider s’il vous plaît ?
Je n’arrive pas à faire la question 6), je ne vois pas le lien avec la 5.b). De même pour la question 8.b).

Merci beaucoup.
Manon

[sos-math(27)]

Bonjour Manon,
Avant tout, il me semble qu'il y a un petit problème dans la numérotation des questions ! En fait le 5 est la question 1), et etc...
Pour traiter la question 6) (en fait question 2) ), il faut écrire l'encadrement du 1)b) pour k variant de 1 à n (il y aura donc n encadrements) ensuite, en additionnant, on doit retrouver l'expression de Sn et pouvoir l'encadrer elle aussi...

Pour la 8) b), si une suite décroissante est minorée, elle est convergente... la suite Sn- ln(n) est-elle minorée ?

J'espère que mes remarques vont t'aider à avancer... à bientôt

[Manon]

Bonjour, oui mon professeur s'est trompé dans la numérotation.
Oui mais je n'arrive pas à sommer les termes pour retrouver Sn-1, oui elle doit être minorée mais pareil je n'arrive pas à le démontrer.

Merci beaucoup.
Bonne soirée

[sos-math(27)]

Bonsoir Manon,
Il faut écrire les inégalités en faisant varier k : \(\frac{1}{k+1} \leq ln(k+1)-ln(k) \leq \frac{1}{k}\)
pour k=1 : \(\frac{1}{2} \leq ln(2)-ln(1) \leq \frac{1}{1}\)

Continue d'écrire les inégalités suivantes pour k=2, k=3 ... k=n (ou k=n-1... à voir !)
Ensuite, il faut additionner pour retrouver l'expression de \(S_n\).
Je te laisse écrire les calculs

[Manon]

Bonsoir, je vois vraiment pas comment additionner les termes, pouvez vous me détailler un peu plus s'il vous plait.
Merci beaucoup, bonne soirée.

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Manon,
ce que te propose de faire mon collègue c'est comme ci-dessous

pour k=1 : \(\frac{1}{2} \leq ln(2)-ln(1) \leq \frac{1}{1}\)
pour k=2 : \(\frac{1}{3} \leq ln(3)-ln(2) \leq \frac{1}{2}\)
pour k=3 : \(\frac{1}{4} \leq ln(4)-ln(3) \leq \frac{1}{3}\)
ainsi de suite puis tu additionnes membre à membre

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \leq ln(2)-ln(1)+ln(3)-ln(2)+ ln(4)-ln(3) \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \leq ln(4)-ln(1) \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)