Formes indéterminées

[Matthieu]

Bonsoir,

Je tente de m'entraîner sur les formes indéterminées, ma bête noire, et je n'arrive pas à résoudre celle-ci. Voici l'exercice et mes réponses.
Merci d'avance de votre aide.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Mathieu,

En 0, il n'y a pas de forme indéterminée, tu peux conclure par une règle concernant la limite d'un quotient.
En plus l'infini, tu peux utiliser la transformation d'écriture valable pour x non nul :
\(\frac{lnx}{x}*\frac{x}{exp(x)}\)
Conclus alors grâce à deux limites de cours.

Bonne recherche
sosmaths

[Matthieu]

Bonjour,

Je pense avoir fini l'exercice (voir photo). Cependant je ne comprends d'où vient cette forme, d'habitude on factorise par le terme de plus haut degré ? (donc l'exponentielle) ?

Merci pour vos explications

[SoS-Math(9)]

Bonjour Matthieu,

Tout d'abord il y a une erreur .... \(\lim_{x \to 0}ln(x) = -\infty\) et non 0.

On transforme \(\frac{ln(x)}{e^x}\) en \(\frac{ln(x)}{x} \times \frac{x}{e^x}\) pour faire apparaître les limites usuelles en +\(\infty\) de \(\frac{ln(x)}{x}\) et l'inverse de \(\frac{e^x}{x}\).

SoSMath.

[Matthieu]

Bonsoir,

J'ai tenté de faire d'autres exercice sur les formes indéterminées, mais je ne suis pas sûr de mes réponses et surtout de mon argumentation.
Qu'en pensez-vous ?

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Matthieu,

Désolé mais je n'arrive pas à voir ce que tu as fait.
Dans ton exercice, il s'agit encore une fois de faire apparaître des limites usuelles ...

SoSMath.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Matthieu,

Je n'arrive pas non plus à bien lire ton travail.
Pour f(x), il y a forme indéterminée en +inf et -inf.
Factorise numérateur et dénominateur par x non nul puis simplifie ton quotient pour pouvoir conclure.

Pour g(x), s'aider de la limite de cours en +inf de ln(x)/x.

Bonne journée
Sosmaths

[Matthieu]

Bonjour,

Je vous redonne une autre image plus lisible.

[SoS-Math(9)]

Matthieu,

pour la fonction g, c'est bien.

Pour la fonction f, on ne demande pas la limite en 0 mais en -\(\infty\).
Pour la limite en +\(\infty\), il est préférable de considérer la fonction inverse \(\frac{1}{f(x)}=\frac{x+e^x}{2x}=\frac{1}{2}(1+\frac{e^x}{x})\).

SoSMath.

[Matthieu]

Bonjour,

J'essaie de commencer un nouvel exercice sur les fonctions, mais je bloque sur la dérivée.
D'après la dérivée que je trouve le dénominateur est positif donc le signe dépend du numérateur, et je ne vois pas comment le résoudre.

Merci d'avance de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Matthieu,

Pour trouver, le signe de ta dérivée, il faut résoudre l'inéquation \(2\sqrt{x}-2x > 0\) ... cela ne doit pas être trop compliqué.

SoSMath.

[Matthieu]

Bonjour,

Il me semblait bien qu'il fallait faire cela, cependant je ne vois pas comment résoudre l'équation. J'ai passé le -2x de l'autre côté mais cela ne m'aide pas...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Mathieu,

après avoir ajouter 2x dans les deux membres de l'inégalité, tu obtiens \(2\sqrt{x}<2x\) soit \(\sqrt{x}<x\)
Sachant que x est positif, tu peux élever au carré les deux membres de l'inégalité ...

SoSMath.

[Matthieu]

Bonjour,

Merci pour vos remarques, j'ai donc réussi à résoudre l'inéquation mais je n'arrive pas à trouve le signe de f(x), seulement avec la calculatrice ...
De plus, je suis bloqué face à la question 2.

Merci d'avance de votre aide.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Matthieu.

A la dernière ligne de ton inéquation, il me semble que c'est plutôt x - x² > 0.
Ton tableau de signe de f(x) est correct et se justifie très simplement : quel est la maximum de f d'après le tableau de variation? Tu en déduiras son signe immédiatement...