Récurrence et logarithme

[Thomas]

Bonsoir,

J'essaie de faire cet exercice (voir photo) mais je suis bloqué à la question, la récurrence, voici mes réponses mais je n'arrive pas à continuer.

Merci d'avance de votre aide.
A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Thomas,
le début est correct ensuite il te faut faire le calcul pour \(ln(A^{p+1})\)
\(ln(A^{p+1}) = ln(A^p \times A)\)
\(=ln(A^p)+ln(A)\)
\(=pln(A)+ln(A)\)
\(=(p+1)ln(A)\)
l’hypothèse de récurrence est vérifiée.

[Thomas]

Bonsoir,

Merci de votre aide, je pense avoir fini l'exercice, mais je ne sais pas si ma rédaction est suffisante à la question 3.
Merci de votre aide.

A bientôt

[Thomas]

Bonjour,

Voici la photo que j'ai oublié

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
il y a beaucoup plus court :
\(ln(A)=ln(\sqrt{A}^2)\)
\(ln(A)=2ln(\sqrt{A})\) d'après la propriété *
d'où \(ln(\sqrt{A}) = \frac{1}{2}ln(A)\)

[Thomas]

Bonsoir,

J'ai essayé de faire un nouvel exercice sur une récurrence, mais je bloque sur l'hérédité ...
Voici l'exercice et mes réponses

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

Tout d'abord la propriété ne commence pas à 0 .... car pour n=3 : n² = 9 > 2^3 = 8.
Il faut trouver le n0.

Pour la récurrence, tu pars de ton hypothèse \(n^2 \leq 2^n\) donc en multipliant par 2, on obtient \(2n^2 \leq 2 \times 2^n = 2^{n+1}\).
Il te reste à prouver que \((n+1)^2 \leq 2n^2\). Pour cela étudie le signe de \((n+1)^2 - 2n^2\).

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

A vrai dire, je ne vois pas comment trouver le n0, à part à la calculatrice ... ? Comment faire ?

Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Thomas,

Dans ta récurrence, tu vas montrer que (n+1)² ≤ 2n² pour n >= 3.
Donc pour n >= 3, (n+1)² ≤ 2n² ≤ \(2^{n+1}\).
D'où \(n_0=4\).

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir compris vos remarques, je vous donne en pièce-jointe ce que je pense à avoir compris ...

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Thomas,

9 > 8 ... donc \(n_0\) n'est pas égale à 3 !

Ensuite il faut démontrer que (p+1)² <= \(2^{n+1}\) ... il ne suffit pas de l'écrire !
Je t'ai donné la méthode pour le démontrer. Reprend mes messages.

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

J'ai relu vos anciens messages, mais je ne les comprends pas.
Je vous donne la photo de ce que je pense avoir compris.

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

Visiblement tu n'as pas bien compris le raisonnement par récurrence.
Voici un site qui pourra t'aider à mieux comprendre :
http://www.jaicompris.com/lycee/math/suite/suite-recurrence.php.

SoSMath.

[Thomas]

Bonsoir,

Merci pour votre site, j'ai un peu mieux compris mais je n'arrive pas à finir ... Je ne sais pas comment continuer

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

C'est un bon début.
Tu as montré que \(2p^2 \leq 2^{p+1}\) et tu veux montrer que \((p+1)^2 \leq 2^{p+1}\).
Donc il faut montrer que \((p+1)^2 \leq 2p^2\).
Pour cela il faut étudier le signe du trinôme \((p+1)^2 - 2p^2\).

SoSMath.