Intégralité et Probabilité

[Solenn]

Bonjour,

Après de nombreuses tentavives il est impossiblr pour moi de réaliser cet exercice..
J'espère pouvoir compter sur votre aide.
Merci d'avance

Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur R par : f(x) =m/x si x∈ [1;10[
f(x) = 0 sinon

Partie I
1. Déterminer m pour que f soit une fonction de densité.

2. Soit X une variable aléatoire de densité f. On rappelle que P(X≤x) =\(\int_{-infini}^{x}{}\)f(t) dt soit :

► si x ≤ 1, P(X ≤ x) =0

► si 1< x ≤ 10, P(X ≤ x) = \(\int_{1}^{x}{f(x)}\) dt

► si x > 10, P(X ≤ x) =1

a) Exprimer pour tout x > 0, P(X ≤ x) en fonction de x.

b) Calculer P(1 ≤ X <2 )

c) Soit a∈( 0,2; 1). Montrer que P (1 ≤ a ⋅X < 2) ne dépend pas de a.
Partie II

Soit X 1 une variable aléatoire de densité f et X 2définie par : X2 = 0,5 * X1

1. Montrer que P(X2 > 5) =0 et que P(0,5 ≤ X2 < 1) = ln2/ln10

Pour l'instant j'ai juste réussi à répondre à la question 1, soit m = 1/ln10

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Solenn,

Quelques aides pour te permettre de continuer :

Pour la question 2)a), tu as déjà les réponses dans l’énoncé pour x < 1 et x > 10.
Il reste à calculer l’intégrale lorsque 1 ≤ x ≤ 10, sachant que tu connais f(x)
(La valeur de m est bien 1/ln 10). Détermine donc une primitive F de f pour débuter.

Pour la 2ème question, p(1<X<2) = P(X < 2 ) – P(X ≤ 1) : utilise alors les questions précédentes pour déterminer les deux probabilités dont tu as besoin.

aX compris entre 1 et 2 équivaut à X compris entre 1/a et 2/a puisque a est positif : réinvestis alors la méthode de la question précédente…et utilise pour simplifier ton résultat une propriété de calcul de ln.

Bonne recherche
Sosmaths

[SoS-Math(34)]

Précision/question pour le 2c) : à quel intervalle appartiennent 1/a et 2/a lorsque a est compris entre 0.2 et 1?