Détermination de longueurs et points alignés

[Jen]

Bonsoir,

Je bloque à une partie de mon DM, je vous montre ce que j'ai pu trouvé et ce qui ne vas pas :
Soit E( 1;b ) F( ( -1/(b-2) ) ; 1 ) G( 1 ; ( 2-b ) ) H( ( 2b-3/(b-2) ) ; 1 )
3. Vérifier que pour tout point E, les points F et H sont sur une droite fixe, parallèle à l'axe des abscisses, et que les points E et G
sont sur une droite fixe, parallèle à l'axe des ordonnées.

Cela veut-il dire que je dois démontrer si les points sont alignés ?

4. Démontrer que le quadrilatère EFGH est un losange.

On calcule EF², FG², GH² et EH²
un quadrilatère qui a ses 4 côtés = est un carré ou un losange
EF ( ( -1/(b-2) ) -1 ; 1 - b )

( ( -1/2 ) ; ( 1-b ) ) EF² ( 1/4 ; 1+b^2 )

FG ( 1 + ( 1/(b-2) ) ; ( 2-b ) - 1 )

( ( 1/2 ) ; ( 1-b ) ) FG² ( 1/4 ; 1+b^2 )

GH ( ( 2b - 3/b-2 ) -1 ; 1 - (2-b) )
( ( 1/2 ) ; ( 1-b ) ) GH² ( 1/4 ; 1+b^2 )

EH ( ( 2b - 3/b-2 ) -1 ; 1 - b )
( ( 1/2 ) ; ( 1-b ) ) EH² ( 1/4 ; 1+b^2 )

si FH²=EG² c'est un carré, sinon c'est un losange

j'ai trouvé FH ( ( 2b-3/b-2 ) + ( 1/b-2 ) ; 1-1 )
( 2b-2/b-2 ; 0 )
( 2 ; 0 )
FH² ( 4 ; 0 )

EG ( 1-1 ; ( 2-b ) -b )
( 0 ; 2 )
EG² ( 0 ; 4 )
Mais du coup ce que j'ai trouver amène à la consigne 5. Déterminer les longueurs EG et FH

6. En déduire que l'aire de EFGH est A = ( 2b - 2 )^2/( 2b - 4 )
Seulement les diagonales sont de ( 1/4 ; 1+b^2 ) alors je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Jen,
les modérateurs du forum sont des professeurs qui ont des classes et donc qui ne peuvent pas être toujours présents ce qui explique que ton message n'ait pas été validé sitôt posté.
Pour ton exercice :
les points F et H sont sur une droite fixe, parallèle à l'axe des abscisses cela veut dire que F et H doivent avoir la même ordonnée.
et que les points E et G sont sur une droite fixe, parallèle à l'axe des ordonnées cela veut dire que E et G doivent avoir la même abscisses.

Un losange est un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires et de même milieu.
(EG) et (FH) sont les diagonales et d’après ce qui précède elles sont ..... il faut trouver les coordonnées de leur milieu

Je te laisse poursuivre

[Jen]

Désolé je ne voulais pas m'imposer.

(EG) et (FH) sont les diagonales et d’après ce qui précède elles sont perpendiculaires.
On note I leur milieu
1+1/2 = 1 1+1/2 = 1
I( 1;1 )

[SoS-Math(33)]

Il y a pas de soucis Jen,
Oui pour la perpendicularité pour le milieu il faut calculer le milieu de (EG) et celui de (FH) et montrer qu'ils sont égaux.

Pour la suite je pense que tu as fait des erreurs dans les calculs des longueurs. Une longueur est un nombre et non une coordonnée.
EG = \(\sqrt{(x_G-x_E)^2 + (y_G-y_E)^2}\)
Il te faut reprendre les calculs.

[Jen]

Milieu de (EG) 1+1/2 = 1 ; b+( 2-b )/2 = 1
( 1;1 )

Milieu (FH) ( -1/b-2 + 2b-3/b-2 )/2 ; 1+1/2 = 1
2b-4/(b-2)*2
2b-4/2b-4 = 1
Soit ( 1;1 )
Donc (EG) et (FH) sont les diagonales du quadrilatère et sont perpendiculaires , alors EFGH est un losange.

5. EG = \(\sqrt{( 1-1 )^2 + ( (2-b) - b )^2}\)
= \(\sqrt{( 2-2b )^2}\)
= \(\sqrt{4+4b^2}\) = 2+2b

FH = \(\sqrt{( (2b-3/b-2) + (1/b-2)^2 + ( 1-1 )^2}\)
= \(\sqrt{( 2b-2/b-2 )^2}\)
= \(\sqrt{4b^2 + 4/b^2 + 4}\)
= 2b+2/b+2 = 2

[SoS-Math(33)]

Il y a un oubli

Donc (EG) et (FH) sont les diagonales du quadrilatère ont le même milieu et sont perpendiculaires , alors EFGH est un losange.

il y a une erreur dans les calculs

5. EG = \(\sqrt{( 1-1 )^2 + ( (2-b) - b )^2}\)
= \(\sqrt{( 2-2b )^2}\)
= 2-2b

FH = \([tex]\)\sqrt{( (2b-3/b-2) + (1/b-2))^2 + ( 1-1 )^2}[/tex]
= \(\sqrt{( 2b-2/b-2 )^2}\)
= (2b-2)/(b-2)

[Jen]

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider.

Bonne soirée. :)

[SoS-Math(33)]

Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math