Equation de droites

[Jen]

Bonjour,

Je me débrouille pas mal au sujet des équations de droite. Mais là je rencontre certains blocages et certains doute.
Je vous énonce la première partie car il est assez long.

On se place dans un repère orthonormé.
Soit A(0 ; 0), B( 2 ; 0 ), C( 2 ; 2 ) et D( 0 ; 2 ) quatre points et b un réel de ]2 ; +infini[.
E est le point de coordonnées ( 1 ; b ).
La droite delta1 est parallèle à (EC) passant par A, delta2 est la parallèle à (ED) passant par B.
On note F l'intersection de (ED) avec delta1, G l'intersection de delta1 et delta2 et H
l'intersection de (EC) et delta2.

1. a. Démontrer que la droite (ED) a pour équation (b-2)x - y + 2 = 0

ED ( 0-1 ; 2-b ) ( -1 ; 2-b )
M(x ; y ) EM ( x-1 ; y-b )
( x-1 ) * ( 2-b ) - ( y-b ) * ( -1 ) = 0
<=> 2x - bx - 2 + b + y - b = 0
<=> ( 2-b )x + y - 2 = 0
<=> ( b-2 )x - y + 2 = 0

(ED) a pour équation ( b-2 )x - y + 2 = 0

b. Déterminer une équation de la droite delta1.

EC ( 2-1 ; 2-b ) ( 1 ; 2-b )
delta1 ( 2-b )x - y + A = 0
(EC) ( 2-b ) * 0 - 1 * 0 + A = 0
A = 0
Donc delta1 a pour équation ( 2-b )x - y = 0

c. F étant le point d'intersection de (ED) et (delta1), on résout le système :

{ ( b-2 )x - y + 2 = 0
{ ( 2-b)x - y = 0
-2y + 2 = 0
y = 1
( b-2 )x - 1 + 2 = 0
<=> ( b-2 )x - 1 = 0
<=> ( b-2 )x = -1
<=> x = ( -1/(b-2) )

( 2-b )x - 1 = 0

F ( -1/(b-2) ; 1 )

2. a. Déterminer une équation de chacune des droites (EC) et delta2

EC ( 2-1 ; 2-b ) ( 1 ; 2-b )
EM ( x-1 ; y-b )
EM ( x-1 ) * ( 2-b ) - ( y-b ) * 1 = 0
<=> 2x - bx - 2 + b - y + b = 0
<=> ( 2-b )x + 2b - y - 2 = 0
Je ne pense pas que ce soit cela.

delat2 parallèle à (ED) et passe par B

ED ( -1 ; 2-b ) delta2 ( 2-b )x + y + B = 0
(ED) ( 2-b ) * 2 + 1 * 0 + B = 0
<=> 4 - 2b + 0 = 0
delta2 ( 2-b )x + y + ( 4- 2b ) = 0

b. En déduire les coordonnées des points G et H.

N'étant pas sur de mes réponses je préfère calculer les coordonnées des intersections plus tard.

Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Jen,

Les réponses des questions 1)a)b) et c) sont correctes.
Je regarde d'ici peu les suivantes.

Sosmaths

[SoS-Math(34)]

Pour le 2) a), c'est correct pour (EC).
Il me semble qu'il y a une petite erreur pour delta2 :ne serait-ce pas B = 2b - 4 et pas 4 - 2b.
Relis-toi pour être sûre.

Petite remarque, pour vérifier la validité des tes équations, il te suffit de vérifier que cette équation est vérifiée par les coordonnées de 2 points de cette droite.
Par exemple, pour (EC), calcule ( 2-b )x + 2b - y - 2 pour les coordonnées (x;y) de E, puis de même avec C.
si tu trouves 0 dans les deux cas, ton équation est bien une équation cartésienne de (EC).

[SoS-Math(34)]

Je te laisse donc continuer tes calculs avec la résolution des systèmes donnant les coordonnées de G et de H.

Bonne recherche
sosmaths

[sos-math(27)]

Bonjour,
LA méthode est bien appliquée, mais il y a une erreur de signe à la fin :

ED ( -1 ; 2-b ) delta2 ( 2-b )x + y + B = 0
(ED) ( 2-b ) * 2 + 1 * 0 + B = 0
<=> 4 - 2b + B = 0
delta2 ( 2-b )x + y + ( 4- 2b ) = 0

Il me semble que ton B doit être égal à : 2b-4

Il me semble qu'un autre modérateur m'a devancé pour la réponse, tout est donc bien confirmé !!
à bientôt

[Jen]

Merci pour vos réponses, je vous ferez part de mes résultats demains.

A bientot

[Jen]

Bonjour,

En effet je me suis relue et c'est bien B = ( 2b - 4 )

Pour ce qui est des coordonnées des intersections G et H voici mes résultats :

2) b. { ( 2-b )x - y = 0
{ ( 2-b )x + y + ( 2b-4 ) = 0
( 4-2b )x + ( 2b-4 ) = 0
( 4-2b )x = ( -2b+4 )
<=> x = ( -2b+4) / ( 4-2b )
<=> x = 0
( 2-b )*0 - y = 0
y = 0

G ( 0;0 )

{ ( 2-b )x + 2b - y - 2 = 0
{ ( 2-b )x + y + ( 2b-4 ) = 0
( 4-2b )x + 2b - 2 =0
( 4-2b )x = -2b + 2
<=> x = ( -2b+2 ) / ( 4-2b )
<=> x = 2/4 = 1/2

( 2-b ) * ( 1/2 ) + 2b - y - 2 = 0
1 - ( 1/2 )b + 2b - y - 2 = 0
-y = -1 + ( 1/2 )b - 2b + 2
-y = ( -3/2 )b + 1
y = ( 3/2 )b - 1

H ( (1/2) ; ( 3/2b - 1 ) )

Merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(27)]

Bonjour Jen,
Attention, dans ton premier système quand tu obtiens :

x = ( -2b+4) / ( 4-2b )

cela donnera x=1 !! (et pas x=0)
L'abscisse de G est toujours égale à 1
Tu pourras recalculer l'ordonnée de G.

Pour le point H, il y a aussi des erreurs...

{ ( 2-b )x + 2b - y - 2 = 0
{ ( 2-b )x + y + ( 2b-4 ) = 0
( 4-2b )x + 2b - 2 =0 si tu as additionné les deux lignes, on trouve donc : ( 4-2b )x +4b-6 =0
( 4-2b )x = -2b + 2
<=> x = ( -2b+2 ) / ( 4-2b )
<=> x = 2/4 = 1/2

Du coup le reste est faux !!
Pour t'aider, je te donne le résultat : l'abscisse de H est égale à (2b-3)/(b-2) et son ordonnée est égale à 1. Je te laisse reprendre les calculs.
Fais bien attention aux simplifications.
à bientôt

[Jen]

J'ai trouvé G ( 1; (2-b ) )

Merci d'avoir pris le temps de m'aider.

[sos-math(27)]

Bravo, c'est cela