Intégrale

[Laure]

Bonjour,
J'ai un devoir maison a faire et je suis bloqué à une question.
On a une fonction f(x)=(1+x)e^-x.
Il faut déterminer les réels a et b tels que la fonction F définie sur R par F(x)=(ax+b)e^-x soit une primitive de f sur R.
Est-ce que vous pouvez m'aider?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Laure,
Dire que F(x) est une primitive de f(x) revient à dire que F'(x) = f(x).
Il te faut donc calculer la dérivée de F(x) et ensuite tu vas avoir les conditions sur a et b.
Je te laisse faire le calcul.

[Laure]

J'ai déjà dérivé f(x) dans une question précédente et j'ai trouvé -xe^-x. Est-ce avec cela que je vais trouvé a et b car je ne vois pas comment dérivée F(x)?

[SoS-Math(33)]

Il te faut dériver F et non f dans cette question.
F(x) = \((ax+b)e^{-x}\) forme (uv)' avec u =\((ax+b)\) et v=\(e^{-x}\)
u' = \(a\) et v' = \(-e^{-x}\)
A toi de terminer

[Laure]

(uv)'=a*e^-x+(ax+b)*(-e^-x)
= ae^-x - axe^-x-e^-xb

[SoS-Math(31)]

Bonjour Laure,
Factorises par \(e^{-x}\) alors l'autre facteur sera un polynôme de degré 1, tu devras alors identifier les coefficients de x ensuite les coefficients constants. Ainsi tu obtiendras un système à résoudre.

[Laure]

(uv)'=ae^-x - e^-x(ax-b)
Mais ensuite, je ne vois pas comment identifier les coefficients de x pour résoudre le système.

[SoS-Math(33)]

Tu as \((uv)' = (a-b-ax)e^{-x}\) ce qui doit être égal à \((1+x)e^{-x}\)
tu obtiens donc \(a-b = 1\) et \(-a = 1\) en identifiant les deux.
Ce qui te donne a = .... et b = ....

[Laure]

Alors a=-1 et b=-2

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça tu as ainsi F(x) = \((-x-2)e^{-x}\)

[Laure]

Merci beaucoup de m'avoir aidé.
Bonne soirée.

[SoS-Math(33)]

Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math