Dérivé

[Justine]

Bonjour,
J’ai un exercice à faire et j’aurais besoin de votre aide ?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Justine,
l'équation de la tangente en a est y = f '(a) (x -a) + f(a). La position de la tangente par rapport à la courbe en a est donc donné par le signe de [f '(a) (x - a) + f(a)] - f(a).
Si x > a, quel doit être le signe de f'(a) pour que la courbe soit au dessus de la tangente ? Et si x < a ?

[Justine]

Comment ça ? Je ne comprends pas.

[SoS-Math(31)]

As tu vu les fonctions concaves ? Sinon :
Il faut que la courbe soit au- dessus de n'importe laquelle de ses tangente donc pour l'abscisse a, je fais la différence de ordonnée du point sur la tangente et celle du point sur la courbe. Si cette différence est positive la tangente est au dessus sinon elle est au dessous.

[Justine]

Non je ne l'ai pas vue.
Est-ce qu'il faudrait que je trouve l'équation de la fonction avec a ?

[SoS-Math(31)]

Es tu d'accord que l'équation de la tangente à la courbe de f est a est y = f '(a) (x - a) + f(a) ?
on calcule la distance entre le point d'abscisse a de la tangente et de la courbe : [f '(a) (x - a) + f(a)] - f(a) = f '(a) ( x - a).
Es tu d'accord jusque là?

[Justine]

Oui, je suis d'accord.

[SoS-Math(31)]

Donc la tangente est au dessus de la courbe si cette différence est positive et en dessous si cette différence est négative.
D'après l'énoncé, on veut que la courbe soit au dessus de la tangente donc la tangente en dessous. Il faut chercher : A quelle condition f '(a) (x - a) est-il négatif?

[Justine]

La dérivé de la fonction 4x2-6x+2 est f'(x)= 8x-6
donc 8x=6
x= 0.75
Donc f'(a) (x-a) est négatif en 0.75 ?

[Justine]

La dérivé de la fonction 4x2-6x+2 est f'(x)= 8x-6
donc 8x=6
x= 0.75
Donc f'(a) (x-a) est négatif en 0.75 ?

[Justine]

La fonction dérivé de 4x2-6x+2 est 8x-6
8x=6
x= 0.75
Donc f'(a) (x-a) est négatif si x vaut 0.75 ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Justine,
il y a une erreur dans ce que tu fais.
Si tu veux connaitre la position de deux représentations graphiques, par exemple celle de f1 et celle de f2 tu étudies le signe de f1(x)-f2(x).
Ici f1(x) c'est ta fonction, c'est à dire : 4x²-6x+2
et f2(x) c'est l'équation de la tangente à la courbe en un point d'abscisse \(a\), c'est à dire f'(\(a\))(x-\(a\))+f(\(a\)) ce qui donne (8\(a\)-6)(x-\(a\))+4\(a\)²-6\(a\)+2
Maintenant il reste à calculer la différence des deux expressions : [4x²-6x+2]-[(8\(a\)-6)(x-\(a\))+4\(a\)²-6\(a\)+2] et montrer que cette différence est toujours positive quelque soit la valeur de \(a\)
Comprends-tu?
A toi de terminer le calcul.

[Justine]

J'ai fais
y=f'(a) (x-a) + f(a)
y= 8a-6 (x-a) + 4a2-6a+2
y= 8ax - 8a2 - 6x +6a + 4a2 -6a +2
y = -4a2 - 6x + 8ax +2

Notons t(x) = f(x)-y

4x2-6x+2+4a2+6x-8ax-2
4x2+4a2-8ax
4(x2-2ax+a2)
t(x)= 4(x-a)2

Donc t(x)>0 pour tout R appartenant à a.
Donc f est au dessus de ses tangentes.

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça Justine, il y a juste une petite erreur dans l'avant dernière phrase (une inversion)

Donc t(x)>0 pour tout a appartenant à R.

pour être vraiment rigoureux il faut mettre t(x)\(\geq\)0
Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math

[Justine]

D'accord merci beaucoup.
Bonne soirée à vous aussi.