DM de maths

[Morgane]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon DM de maths, je bloque à partir de la 3)a).
Le sujet est :
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x3-2 et C sa courbe représentative (O ; I ; J).
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle [1;2]. Elle est appelée racine cubique de 2.

a) On construit une suite (xn) de la façon suivante : x0 = 2 et, pour tout n ≥0, xn+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe C en son point d'abscisse xn.
Emettre une conjecture sur la suite (xn).

a) Montrer que la tangente à la courbe C au point d'abscisse t, 1 ≤ t ≤ 2, coupe l'axe des abscisses en g(t) = t - f(t)/f'(t).
b) Justifier que g(α) = α.
c) Sur [α ; 2], donner le signe de f et de f’ et en déduire que g(t) ≤ t pour tout t ∈ [α ; 2].
Montrer que, sur [α ; 2], g(t) = 2/3t + 2/3t² et montrer que g’(t) = 2f(t)/3t3.
Montrer que pour α≤t≤2, on a α≤ g(t) ≤2.

a) Montrer que, pour tout n ≥ , α≤x_n≤2.
Montrer que la suite (xn) est décroissante.
Justifier que la suite (xn) est convergente et a pour limite α.

On traitera en module l’algorithme permettant de réaliser des approximations des solutions d’une équation numérique avec une précision choisie en utilisant la méthode de Newton.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Morgane,

Il manque les numéros des questions, mais je suppose que la 3)a) est la question suivante? (*)
a) Montrer que, pour tout n ≥ , α≤x_n≤2.

Si tel est le cas, remarque tout d'abord que,pour tout entier naturel n, g(Xn) = Xn+1 par définition de la suite (Xn) - puisque xn+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe C en son point d'abscisse xn -
Tu pourras ensuite sans doute utiliser le résultat de la question précédente pour α≤t≤2, on a α≤ g(t) ≤2. pour mettre en place un très célèbre type de raisonnement...que tu as vu cette année. Je te laisse y réfléchir...

Bonne recherche
Sosmaths

PS: (*) si ça n'est pas le cas, renvoie ton message initial avec les numéros de questions clairement précisés que nous puissions répondre efficacement à ta question.

[Morgane]

Bonjour, excusez-moi les numéros des questions se sont effacés, je vous remets l'énoncé complet ici :

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x3-2 et C sa courbe représentative (O ; I ; J).
1. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle [1;2]. Elle est appelée racine cubique de 2.

2. a) On construit une suite (xn) de la façon suivante : x0 = 2 et, pour tout n ≥0, xn+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe C en son point d'abscisse xn.
b) Émettre une conjecture sur la suite (xn).

3. a) Montrer que la tangente à la courbe C au point d'abscisse t, 1 ≤ t ≤ 2, coupe l'axe des abscisses en g(t) = t - f(t)/f'(t).
b) Justifier que g(α) = α.
c) Sur [α ; 2], donner le signe de f et de f’ et en déduire que g(t) ≤ t pour tout t ∈ [α ; 2].
d) Montrer que, sur [α ; 2], g(t) = 2/3t + 2/3t² et montrer que g’(t) = 2f(t)/3t3.
e)Montrer que pour α≤t≤2, on a α≤ g(t) ≤2.

4. a) Montrer que, pour tout n ≥ , α≤x_n≤2.
b)Montrer que la suite (xn) est décroissante.
c)Justifier que la suite (xn) est convergente et a pour limite α.

5. On traitera en module l’algorithme permettant de réaliser des approximations des solutions d’une équation numérique avec une précision choisie en utilisant la méthode de Newton.

Je bloque à partir de la 3. a), j'ai fait l'équation de la tangente mais je ne suis pas sûre que ce soit cela, s'il vous plait pouvez-vous me corriger si besoin.

3. a) On a f'(t)(x-t)+f(t) = 0
f'(t)(x-t) = -f(t)
x-t = -f(t)/f'(t)
x = t - f(t)/f'(t)

Pour la b) je n'arrive pas à justifier que g(α) = α.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
à la question 1) tu as montré que f(x)=0 admet une unique solution α donc f(α)=0 ce qui donne pour g(α) :
g(α)= α - f(α)/f'(α) = α - 0/f'(α) = α

[Morgane]

D’accord, je vais essayer de faire ceci.

Pouvez vous me donner une piste pour la c) car je vois pas comment procéder.

[SoS-Math(33)]

Pour répondre à la question 1) tu as du calculer f'(x) et étudier le sens de variation de f.
f'(x) = 3x² donc f'(x) >0
et f est croissante avec f(α) = 0
Avec ceci tu devrais trouver

[Morgane]

D’accord merci beaucoup, pour la d) j’ai trouvé g(t) mais pas g’(t).

[SoS-Math(33)]

Une fois que tu as g(t) tu calcules g'(t) et tu calcules aussi 2f(t)/3t3 et tu vas voir que les deux expressions sont égales.

[Morgane]

Oui mais je bloque sur la dérivée de 2/3carré.

[SoS-Math(33)]

Pour dériver \(\frac{2}{3t^2}\) soit tu utilises \((\frac{u}{v})'\) , soit tu utilises \((\frac{1}{x^n})' = \frac{-n}{x^{n+1}}\)

[Morgane]

D’accord merci ! Je vais essayer de le finir, pour l’algorithme c’est quoi la precision ?

[SoS-Math(33)]

Il est écrit :"On traitera en module l’algorithme " cela ne veut-il pas dire que tu le feras en classe avec ton professeur?

[Morgane]

Non non, je dois le faire pour conclure ce DM mais je ne vois pas comment le faire avec la méthode de Newton.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Morgane,

Pour la précision, tu peux la noter \(\varepsilon\) et demander la valeur dans ton algorithme !

SoSMath.

[Morgane]

Bonjour ! Je ne sais pas c’est quoi la méthode de Newton, je ne vois pas comment faire un algorithme avec ceci :/