divisibilité avec recurrence

[nial]

bonsoir ,voila j'ai gros doute pour l'hérédité?
montrer par récurrence que pour tout entier n, 4^n+15n-1 est divisible par 9

4^n+15n-1=9k
4^n+1+15n*4 - 1*4 = 9k'*4
4^n+1+60n - 4 = 9*4k
4^n+1+15*4n- 1*4 = 9*4k met mes 4 en facteur dc
4^n+1+15(n+1)-1 = 9*4k * 4 *4
4^n+1+15(n+1)-1 = 9(4k+1 ???

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Nial,

Tout d'abord, sur ce site, l'usage est de finir par un court message de remerciement (comme merci) pour l'aide qui va être apporter.

Pour répondre à ta question, le passage de la 4e à la 5e ligne est incorrect.
Je te propose de reprendre à partir de ta 3e ligne pour isoler \(4^{n+1}\).
Tu obtiendras alors : \(4^{n+1}\) = ...
Il te restera alors à ajouter 15(n+1) - 1 membre à membre...puis de simplifier le membre de droite de l'égalité...que normalement tu pourras mettre sous la forme 9p avec p entier.

Bonne recherche
Sosmaths

[nial]

désoler, je n'arriver pas a publier mon message du coup j'ai fait un copier collé et j'ai pas fait attention qu'il manquer la fin ..
j'ai pas compris votre explication ? merci beaucoup

[SoS-Math(30)]

Bonjour,

A partir de ta 3ème ligne, tu peux écrire \(4^{n+1}=4 \times 9k - 60n +4\), n'est-ce pas ?
Or pour montrer l'étape de d'hérédité tu dois montrer que \(4^{n+1}+15(n+1)-1\) est un multiple de 9, n'est-ce pas ?
On te propose donc d'utiliser l'expression de \(4^{n+1}\) ci dessus, obtenue grâce à l'hypothèse de récurrence, puis de rajouter membre à membre \(15(n+1)-1\) pour montrer que \(4^{n+1}+15(n+1)-1\) est aussi un multiple de 9.
Je te laisse donc compléter les pointillés et poursuivre : \(4^{n+1}+...=4 \times 9k - 60n +4+...\).

SoSMath

[nial]

bonsoir , d'accord je ne comprenais pas cette méthode
merci de votre aide

[SoS-Math(30)]

En espérant avoir pu t'aider, à bientôt.

SoSMath