Exercice angle associé

[Noémie]

Bonjour,
J'ai un problème sur un exercice sur les angles associés et j'aimerai beaucoup qu'on m'explique comment il faut procéder.

La question est : Simplifier les expressions suivantes en transformant les écritures à l'aide des angles associés
a. cos π/8 + cos 3π/8 + cos 5π/8 + cos 7π/8

Merci d'avance pour votre aide !

[SoS-Math(34)]

Bonjour Noémie,

Les angles associés à x, sont les réels -x, x + pi, pi - x, x+ pi/2, pi/2 -x.
Le sinus et le cosinus des angles précédents peuvent s'exprimer en fonction de cos(x) et sin(x).
Par exemple, cos(pi - x) = - cos x et sin(pi - x) = sin (x).
Les autres relations sont certainement dans ta leçon : je je t'invite à la relire.

Il s'agit donc dans ton exercice de voir le lien entre pi/8 et les autres angles de ton calcul afin d'exprimer chacun des 3 derniers cosinus en fonction de cos(pi/8) ou sin(pi/8), afin de simplifier l'écriture de ta somme.

Bonne recherche
Sosmaths

[SoS-Math(34)]

Par exemple : pi - pi/8 = 8pi/8 - pi/8 =7pi/8
donc si x = pi/8, on a pi - x = 7pi/8... ce qui permet d'en déduire une relation entre cos(pi/8) et cos(7pi/8)

[Noémie]

Je comprends votre premier paragraphe explicatif, mais j'avoue ne pas avoir saisi les deux dernières lignes.

Vous voulez dire que mon x est en fait égal à π/8 ?

[SoS-Math(34)]

C'est cela, il s'agit d'appliquer les formules du cosinus et du sinus des angles associés pour une valeur particulière de x, ici x = pi/8.
(Ces relations se retrouvent assez simplement à l'aide d'un cercle trigonométrique par arguments de symétrie.)

[SoS-Math(34)]

J'ajoute un exemple pour que tu comprennes mieux.
Calculons A = cos(pi/5) + cos(4pi/5).
Je remarque que 4pi/5 = pi - pi/5 donc cos(4pi/5) = cos(pi - pi/5) = -cos(pi/5) puisque cos(pi - x) = - cos(x) pour tout réel x.
Ainsi A = cos(pi/5) + (-cos(pi/5)) = 0.

Est-ce plus clair?

[Noémie]

Je comprends mieux avec des exemples merci !

Donc je dois faire : cos π/8 + cos ( π - 5π/8) + cos 5π/8 + cos (π - π/8) ?

[SoS-Math(34)]

En effet, ce que tu as écris va te permettre de conclure.
C'est bien.

[Noémie]

J'ai donc écrit :

cos π/8 + cos 3π/8 + cos 5π/8 + cos 7π/8
= cos π/8 + cos ( π - 5π/8) + cos 5π/8 + cos (π - π/8)
= cos π/8 - cos 5π/8 + cos 5π/8 - cos π/8
=0

Merci beaucoup ! Je comprends beaucoup mieux l'ensemble de ma leçon maintenant

[SoS-Math(33)]

C'est très bien ce que tu as fait et que tu es compris le principe de ta leçon aussi.
Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math