équivalence ou implication

[Cédric]

Bonjour,
Si m = 9n + 4 [26] alors 3m = 27n + 12 [26] car je sais que la congruence est compatible avec la multiplication (mais pas avec la division).
Dans la correction de l'ex 4 du sujet de S du 14 juin 2017 de Polynésie sur le site Math93.com, j'ai pourtant trouvé l'équivalence suivante :
m = 9n + 4 [26] <=> 3m = 27n + 12 [26].
Je ne comprends pas ...
Merci,
C.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Cédric,

Cela vient du fait que 3 et 26 sont premiers entre eux.Voici des éléments de démonstration de l'implication qui te pose question.
Supposons 3m congru à 27n + 12 modulo 26. (je vais rédiger avec des égalités)
Alors 3m - (27n + 12) = 26k avec k entier.
soit 3 (m - 9n - 4) = 26k
donc 3 divise 26k,
or 3 et 26 sont premiers entre eux
donc 3 divise k et ainsi k = 3p avec p entier.
d'où 3 (m - 9n - 4) = 26*3p
et on en déduit que m - 9n - 4 = 26p ce qui prouve que m est congru à 9n + 4 modulo 26...
L'implication réciproque est donc prouvée.

J'espère que cela t'aura éclairé.
A bientôt
Sosmaths

[Cédric]

Bonjour,
j'ai compris ce qui fait que nous avons :
a = b [c] <=> ka = kb [c] à condition que k et c soient premiers entre eux, n'est-ce pas ?
Mais dans la suite du corrigé ils écrivent :
3m = 27n +12 [26] <=> 3m = n +12 [26]
Je ne comprends pas :
comme on a juste 27 = 1 [26] => 27n = n [26] car ici n et 26 ne sont pas forcément premiers entre eux, on a juste le droit d'écrire :
3m = 27n +12 [26] => 3m = n +12 [26] , n'est-ce pas ?
Merci pour ces ultimes précisions ou confirmations.
C.

[SoS-Math(30)]

Bonjour Cédric,

Pour écrire 27n congru à n modulo 26, ce n'est pas le fait de diviser par n.
27n = 26n + n. Comme 26n est un multiple de 26, 26n est congru à 0 modulo 26.
Ou bien avec les égalités : 3m = 27n + 12 + 26k
3m = 26n + n + 12 + 26k
3m = n + 12 + 26(n + k)
D'où 3m congru à n + 12 modulo 26.

SoSMath

[Cédric]

Bonjour,
Merci beaucoup tout est clair !!!
a = b [c] <=> ka = kb [c] à condition que k et c soient premiers entre eux, ceci est bien juste ?
Cordialement,
C.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Cédric,
En effet, tu peux démontrer l'implication qui pose le plus de problème en utilisant la méthode que je t'ai donnée sur ton exemple la semaine dernière.
Bonne continuation,
A bientôt sur le forum
Sosmaths