Étude de fonction + TVI et suite

[Geoffrey]

Bonsoir, je me retrouve coincé sur une des questions de mon devoir maison et l’exercice et le suivant:

Pour tout n>0, la fonction Gn est définie sur {0;+infini} par Gn(x)=x^n+x-1.
1) étudier, pour tout n>0, les var de Gn.
2) démontrer que x^n+x=1 admet une unique solution réelle alpha(n) et que 0 < alpha(n) < 1.

Ma question est celle-ci:
3) démontrer que pour tout n>0, Gn(alpha(n+1))>0.
J’ai essayé de faire quelque chose avec le résultat de la 2) mais pas aboutie. Peut être me faudrait-il une bonne rampe pour me lancer sur la question.
PS: le n en indice pour le alpha, et l’an solution en fonction du n à la puissance. Merci d’avancer.

[SoS-Math(30)]

Bonsoir Geoffrey,

Par définition de \(\alpha _{n+1}\), on a \(G_{n+1}(\alpha _{n+1})=0\) ce qui signifie que \(\alpha _{n+1}^{n+1}+\alpha _{n+1}-1=0\) (*).
On calcule ensuite \(G_{n}(\alpha_{n+1})\) : \(G_{n}(\alpha_{n+1})=\alpha _{n+1}^{n}+\alpha _{n+1}-1\).
Or d'après l'égalité (*), quelle expression avons-nous de \(\alpha _{n+1}-1\) ?
Je te laisse "te lancer sur cette rampe"...

SoSMath

[Geoffrey]

J’ai donc bien isolé alpha(n+1)-1 dans l’égalité (*) mais je vois vraiment pas quoi en faire, mais en revanche j’ai isolé dans (*) le alpha(n+1) uniquement pour le remplacer dans Gn(alpha(n+1)), mais je me retrouve de nouveau bloqué.. Encore une fois, merci d’avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Geoffrey,

Tu as \(G_{n}(\alpha_{n+1})=\alpha _{n+1}^{n}+\alpha _{n+1}-1\).
et \(\alpha _{n+1}^{n+1}+\alpha _{n+1}-1=0\) donc \(\alpha _{n+1}-1=-\alpha _{n+1}^{n+1}\).

Alors \(G_{n}(\alpha_{n+1})=\alpha _{n+1}^{n}+....\). (à toi de compléter les pointillés).
Après il te restera une factorisation à faire pour étudier le signe de \(G_{n}(\alpha_{n+1})\).

SoSMath.