Maths

[Invité]

\(2(-\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}) + \frac{4}{3} - \frac{4^n}{3} = \frac{-2}{3}+2\times \frac{4^n}{3}+ \frac{4}{3}- \frac{4^n}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3}4^n = \frac{2+4^n}{3}\)

[SoS-Math(9)]

C'est bon !

SoSMath.

[Invité]

Après rectification, voici ce que je propose :

\(A^n =\) \(\begin{pmatrix} \frac{4^n+2}{3} & \frac{4^n-1}{3} & \frac{4^n-1}{3} \\ \frac{4^n-1}{3} & \frac{4^n+2}{3} & \frac{4^n-1}{3} \\ \frac{4^n-1}{3} & \frac{4^n-1}{3} & \frac{4^n+2}{3} \end{pmatrix} \quad\)

[SoS-Math(25)]

Cela me semble correct.

Bon travail !

[Pierre]

Merci à vous et bonne soirée.

Deuxième méthode : (3 questions pour clore l'exercice)

On considère la matrice P = \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\)

1) Calculer \(P^{-1}\), puis calculer la matrice \(D = P^{-1} A P\).
b) En déduire \(D^n\) pour tout entier naturel \(n\).

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(A^n = PD^n P^{-1}\).

3) En déduire les coefficients de la matrice \(A^n\) pour tout entier naturel \(n\).

1) \(P^{-1} =\) \(\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \quad\)

\(D =\) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \quad\)

Pour la 1) b) y a-t-il une méthode précise, particulière ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme ta matrice D est diagonale, tu constates que \(D^2\) est aussi une matrice diagonale formée par les carrés des coefficients diagonaux de \(D\).
Donc en généralisant (le plus propre serait de faire une récurrence), tu auras que \(D^n\) est une matrice diagonale formée par les puissances \(n\) des coefficients diagonaux de \(D\).
Le reste est de la multiplication matricielle.
Bonne continuation

[Pierre]

Bonjour,

J'ai compris cela en calculer mes premières puissances de D.
Mais on nous demande en déduire donc il faut se servir de la question précédente non ?
Comment généraliser ce constat en une égalité ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est le fait d'avoir obtenu à la question précédente que D était une matrice diagonale qui te permet de déduire les puissances successives de D.
Encore une fois, si tu veux le démontrer très rigoureusement, il faut faire une récurrence...
Sinon, on reste intuitif et on "induit" le résultat : on constate pour \(D^2\) donc on généralise à \(D^n\).
À toi de voir ce qui te semble le plus adapté par rapport à ce que tu fais habituellement en spécialité.

[Pierre]

1) b) Calculons les premières puissances de la matrice \(D\) afin de conjecturer l'expression générale de la matrice \(D^n\) pour tout entier naturel \(n\).

\(D =\) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \quad\) ; \(D^2 =\) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{pmatrix} \quad\) ; \(D^3 =\) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 64 \end{pmatrix} \quad\)

On conjecture que pour tout entier naturel \(n\), \(D^n =\) \(\begin{pmatrix} 1^n & 0 & 0 \\ 0 & 1^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix} \quad\)

Démontrons-le par le principe de récurrence :

Définition : Pour tout entier naturel \(n\) on note \(P(n)\) la propriété définie par « \(D^n =\) \(\begin{pmatrix} 1^n & 0 & 0 \\ 0 & 1^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix} \quad\) ».

Initialisation : pour \(n = 0\), on a : \(D^0 =\) \(\begin{pmatrix} 1^0 & 0 & 0 \\ 0 & 1^0 & 0 \\ 0 & 0 & 4^0 \end{pmatrix} \quad\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\) = \(I_3\).

La propriété \(P(n)\) est donc initialisée au rang \(n = 0\).

Hérédité :

Supposons que la propriété P(n) définie par « \(D^n =\) \(\begin{pmatrix} 1^n & 0 & 0 \\ 0 & 1^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix} \quad\) » est vraie pour un entier naturel \(n\).

Démontrons alors que \(P(n+1)\) définie par « \(D^{n+1} =\) \(\begin{pmatrix} 1^{n+1} & 0 & 0 \\ 0 & 1^{n+1} & 0 \\ 0 & 0 & 4^{n+1} \end{pmatrix} \quad\) » est également vraie.

\(D^{n+1} = D^n \times D\)
\(D^{n+1} =\) \(\begin{pmatrix} 1^n & 0 & 0 \\ 0 & 1^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix} \quad\) \(\times\) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \quad\) = \(\begin{pmatrix} 1^n \times 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1^n \times 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \times 4 \end{pmatrix} \quad\) = \(\begin{pmatrix} 1^{n+1} & 0 & 0 \\ 0 & 1^{n+1} & 0 \\ 0 & 0 & 4^{n+1} \end{pmatrix} \quad\).

La propriété \(P(n)\) est donc vraie au rang suivant, elle est donc héréditaire.

Conclusion :

Finalement, le principe de récurrence permet d’affirmer que pour tout entier naturel \(n\), la propriété \(P(n)\) est vraie du fait qu'elle soit initialisée au rang \(n = 0\) et héréditaire.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Pierre,

C'est très bien !

SoSMath.

[Pierre]

Bonjour (9),

Merci à vous !

Pour la 2) il suffit donc de faire une récurrence comme d'habitude ? Aucune difficulté ?

[SoS-Math(9)]

Pierre,

pour la question 2, tu n'as pas le choix de la méthode ... on te demande de le faire par récurrence !

Pour la question 3, il te suffira de faire le produit des matrices ...

SoSMath.

[Pierre]

Je vous montrerai mes réponses lundi :)

[sos-math(21)]

Tu as déjà fait une grosse partie du travail.
Nous attendons la fin de ta rédaction lundi.
Bon dimanche

[Pierre]

2) Prérequis:

\(D = P^{-1}AP\)
\(PD = PP^{-1}AP\)
\(PD = AP\)
\(PDP^{-1} = A\)

Définition : Pour tout entier naturel \(n\) on note \(P(n)\) la propriété définie par « \(A^n = PD^nP^{-1}\).

Initialisation : pour \(n = 0\), on a : \(PD^0P^{-1} = PI_3P^{-1} = I_3=A^0\).

La propriété \(P(n)\) est donc initialisée au rang \(n = 0\).

Hérédité :

Supposons que la propriété P(n) définie par « \(A^n = PD^nP^{-1}\) » est vraie pour un entier naturel \(n\).

Démontrons alors que \(P(n+1)\) définie par « \(A^{n+1} = PD^{n+1}P^{-1}\) » est également vraie.

\(A^{n+1} = A^n \times A\)

où \(A^n = PD^nP^{-1}\).

Ainsi, on obtient l'égalité suivante :

\(A^{n+1} = A^n \times A\)
\(A^{n+1} = PD^nP^{-1} \times PDP^{-1}\)
\(A^{n+1} = PD^nI_3 \times DP^{-1}\)
\(A^{n+1} = PD^n \times DP^{-1}\)
\(A^{n+1} = PD^{n+1}P^{-1}\)

La propriété \(P(n)\) est donc vraie au rang suivant, elle est donc héréditaire.

Conclusion :

Finalement, le principe de récurrence permet d’affirmer que pour tout entier naturel \(n\), la propriété \(P(n)\) est vraie du fait qu'elle soit initialisée au rang \(n = 0\) et héréditaire.