Maths

[SoS-Math(25)]

Une idée serait d'écrire \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).

Puis, comme \(u_n=a_n+b_n\) et \(v_n=4a_n+b_n\), on obtient un système d'équations à deux inconnues...

Je te laisse progresser là dessus.

Bon courage

[Pierre]

Je me disais bien qu'il fallait que j'utilise ces données :-)

4) a) \(u_n = a_n + b_n\)

\(\left \lbrace \begin{array}{r @{ } l} u_n = a_n + b_n \\ v_n = 4a_n + b_n \end{array} \right.\)

\(\left \lbrace \begin{array}{r @{ } l} u_n - v_n = -3a_n \end{array} \right.\)

d'où \(a_n = -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}\) pour tout entier naturel \(n\).

Il en est de même que :

\(b_n = \frac{4}{3} - \frac{4^n}{3}\) pour tout entier naturel \(n\).

[SoS-Math(25)]

Cela me semble correct.

A bientôt !

[Pierre]

4) b) Déterminons les coefficients de la matrice \(A^n\) pour tout entier naturel \(n\).

D'après la question 2), \(A^n = a_nA+b_nI_3\).

Or, en question 4) a), nous avons déterminer les expressions de \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\).

De ce fait, il est trivial de dire que :

\(A^n = a_nA+b_nI_3\)
\(A^n = A(-\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}) + I_3(\frac{4}{3} - \frac{4^n}{3})\)

[SoS-Math(25)]

Je n'ai pas lu tout le sujet. Cela me semble correct donc il te reste à écrire tous les coefficients de la matrice \(A^n\).

A bientôt

[Pierre]

Je m'apprête à le faire, mais y aura-t-il une méthode pour vérifier si c'est juste ?

[Pierre]

\(A^n =\) \(\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} \\ -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} \\ -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \quad\)

[Pierre]

Après vérification, je propose cela :

\(A^n =\) \(\begin{pmatrix} \frac{4}{3} - \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} \\ -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & \frac{4}{3} - \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} \\ -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & \frac{4}{3} - \frac{4^n}{3} \end{pmatrix} \quad\)

[SoS-Math(25)]

Il me semble que les coefficients diagonaux ne sont pas corrects. Peux-tu détailler les calculs ?

A bientôt

[Invité]

Après rectification, voici ce que je propose :

\(A^n =\) \(\begin{pmatrix} -\frac{2}{3} + \frac{8^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} \\ -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{2}{3} + \frac{8^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} \\ -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3} & -\frac{2}{3} + \frac{8^n}{3} \end{pmatrix} \quad\)

[SoS-Math(25)]

Cela ne me semble pas correct...

Quel calcul fais-tu pour trouver le premier coefficient de \(A^n\) ?

[Pierre]

On est d'accord que je dois multiplier tous les coefficients de A par \(a_n\), tous ceux de \(I_3\) par \(b_n\) puis ajouter ?

Pour le premier coefficient (2), ça donne : 2(-1/3 + 4^n/3) + 2(4/3 - 4^n/3)

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Pierre,

Pour le premier coefficient (2), tu fais le calcul : 2(-1/3 + 4^n/3) + 2(4/3 - 4^n/3). D'où le 2 en rouge ?
\(I_3\) a pour "1er" coefficient le nombre 1 et non 2.

SoSMath.

[Pierre]

Bonsoir,

Je viens tout juste de me rendre compte de mon erreur... J'ai confondu le « premier » coefficient de la matrice identité d'ordre 3 avec le « premier » coefficient de la matrice A.

C'est ce que l'on appelle « l'erreur du débutant ».

Pour le premier coefficient (2), on obtient : \(2(-\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}) + \frac{4}{3} - \frac{4^n}{3} = \frac{2^{2n+1}-4^n+2}{3}\).

[SoS-Math(25)]

C'est cela mais tu peux simplifier davantage sans passer par les puissances de 2 :
\(2(-\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}) + \frac{4}{3} - \frac{4^n}{3} = \frac{-2}{3}+2\times \frac{4^n}{3}+ \frac{4}{3}- \frac{4^n}{3}=...\)

Bon travail !