Maths

[Pierre]

Bonjour,

J'ai un problème de spé maths à chercher pour la rentrée et qui sera sûrement noté.
Rassurez-vous, je ne compte pas attendre les réponses - bien au contraire, je chercherai à comprendre.

Thème : Matrices.

Le but de cet exercice est de calculer les puissances d'une matrice donnée de deux façons différentes.

On note A = \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad\)

Première méthode :

1) a) Calculer A²-5A.

A²-5A = \(\begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \quad\)

b) En déduire que A est inversible et donner \(A^{-1}\) en fonction de A.

D'après le cours, on dit que A est inversible si et seulement s'il existe une matrice carrée B d'ordre \(n\) telle que AB = BA = \(I_n\).
En effet, A²-5A * A = 0 ce qui signifie que A est inversible.

\(A^{-1}\) = \(\begin{pmatrix} 0,75 & -0,25 & -0,25 \\ -0,25 & 0,75 & -0,25 \\ -0,25 & -0,25 & 0,75 \end{pmatrix} \quad\)

Jusqu'à là, qu'en pensez-vous ?

[SoS-Math(30)]

Bonjour Pierre,

Tes résultats sont corrects. Les as-tu bien trouvés par le calcul ou à l'aide de la calculatrice ?
Pour la question 2, dans la consigne, on te demande d'exprimer \(A^{-1}\) en fonction de A ce qui ne correspond pas à ta réponse.
Grâce à la question précédente, tu as montré que \(A^{2}-5A=-4I_{3}\). L'avais-tu perçu ?
Autrement dit \(-\frac{1}{4}(A^{2}-5A)=I_{3}\).
Maintenant, en factorisant par A dans le membre de gauche, tu vas pouvoir identifier \(A^{-1}\) en fonction de A.
Je te laisse poursuivre.

Si tu as des difficultés pour effectuer les calculs de la question 1, dis le nous.

SoSMath

[Pierre]

Bonjour SoS-Math(30),

Je vous remercie de m'avoir répondu.

J'ai trouvé les résultats à l'aide de la calculatrice mais je sais les retrouver "manuellement".

b) Exprimons \(A^{-1}\) en fonction de A.

A² - 5A = -4\(I_3\)
-0,25(A²-5A)
-0,25A²+5/4A
A(-0,25A+5/4)

[sos-math(21)]

Bonjour,
attention quand tu factorises avec des matrices c'est un peu différent qu'avec les nombres :
\(A^2-5A=-4I\) donc on a bien \(-0,25(A^2-5A)=I\) et on peut effectivement factoriser par \(A\) : \(A(-0,25A+1{,}25\color{red}{I})=I\) : tu avais oublié la matrice unité \(I\) qui joue le rôle du 1 des nombres dans la multiplication matricielle : \(A=A\times I\).
Donc \(A\) est inversible et son inverse est égale à \(\ldots\).
Bonne continuation

[Pierre]

b) A² - 5A = -4I
-0,25(A²-5A) = I
A(-0,25A+1,25I) = I ce qui signifie que A est inversible.

\(A^{-1}\) = \(\begin{pmatrix} 0,75 & -0,25 & -0,25 \\ -0,25 & 0,75 & -0,25 \\ -0,25 & -0,25 & 0,75 \end{pmatrix} \quad\)

Pour le « En déduire que A est inversible » est-ce que cela suffit ?

D'après le cours, on dit que A est inversible si et seulement s'il existe une matrice carrée B d'ordre \(n\) telle que AB = BA = \(I_n\).
En effet, A²-5A * A = 0 ce qui signifie que A est inversible.

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te cite :

En effet, A²-5A * A = 0 ce qui signifie que A est inversible.

attention, le fait d'avoir un produit égal à 0 ne prouve pas l'inversibilité : il faut que l'on ait un produit \(AB=I\)
Donc le fait d'avoir établi \(A(-0,25A+1,25I)=I\) prouve que ta matrice est inversible et son inverse est \(A^{-1}=-0,25A+1,25I\)
Est-ce plus clair ?

[Pierre]

Bonsoir,

A nouveau, je vous remercie de m'avoir répondu.

C'est désormais clair, je n'avais pas très bien compris la notion d'inversibilité.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tant mieux si désormais c'est plus clair. Cette notion est importante pour la résolution de systèmes d'équations à l'aide de matrices.
Bonne continuation

[Pierre]

Bonsoir,

Vous trouverez ci-dessous la suite de l'exercice :

2) Montrer par récurrence qu'il existe deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que \(A^n = a_nA+b_nI_3\).

On montrera en particulier que :

\(a_{n+1} = 5a_n+b_n b_{n+1} = -4a_n\)

Une fois de plus, recevoir la réponse ne m'intéresse pas du tout. Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?

Bonne soirée.

Pierre B.

[SoS-Math(30)]

Bonsoir,

Effectivement, on prouve cela par récurrence.
Pour effectuer un tel raisonnement, on commence par observer le comportement des premiers termes. Ici, il s'agit d'observer les puissances de A en fonction de A et de \(I_{3}\).
On a : \(A^{0}=I_{3}\) donc \(a_{0}=0\) et \(b_{0}=1\).
Puis \(A^{1}=A\) donc \(a_{1}=1\) et \(b_{1}=0\).
Ensuite, grâce à la question, on a \(A^{2}\) en fonction de A et de \(I_{3}\). Peux-tu exprimer cette relation et en déduire \(a_{2}=0\) et \(b_{2}=1\) ?

Avec cela, tu as plus qu'il ne faut pour réaliser l'étape d'initialisation de la récurrence.
Pour réaliser l'étape de "l'hérédité", tu vas avoir besoin d'exprimer \(A^{n+1}\) sous la forme de \(A^{n} \times A\), d'utiliser l'hypothèse de récurrence et l'expression de \(A^{2}\) en fonction de A et de \(I_{3}\).

Tu obtiendras "automatiquement" les formules \(a_{n+1}=5a_{n}+b_{n}\) et \(b_{n+1}=-4a_{n}\) au cours de l'étape "d'hérédité".

Si l'étape de l'hérédité n'est pas encore assez claire, tu peux essayer d'exprimer \(A^{3}\) en fonction de A et de \(I_{3}\). Cela pourra t'aider à percevoir "l'hérédité".

SoSMath

[Pierre]

Je vous avoue que je trouve ça pas évident du tout.

\(A^2 = a_2A + b_2I_3\)
\(A^2 = 5A - 4I_3\)

[SoS-Math(30)]

OK. \(a_{2}=5\) et \(b_{2}=-4\).

Si tu veux voir avec \(A^{3}\), tu décomposes \(A^{3}\) en \(A^{2} \times A\)...

Pour la récurrence, peux-tu commencer à la mettre en forme ? Quelle est la proposition à démontrer ? En quoi consiste l'initialisation ? Quelle est l'amorce de la rédaction pour l'étape d'hérédité ?

SoSMath

[Pierre]

Démonstration par récurrence :

Soit la propriété \(P_n\) telle que « \(A^n = a_nA + b_nI_3\) ».

Initialisation : pour \(n\) = 0, on a :

\(A^0 = a_0A + b_0I_3\)
\(A^0 = I_3\)

Ce qui est vrai puisque la matrice A à la puissance 0 est égale à la matrice identité. De ce fait, \(P_0\) est vraie.

Hérédité :

Supposons la propriété \(P_n\) telle que « \(A^n = a_nA + b_nI_3\) » comme étant vraie pour un entier naturel \(n\).
Démontrons que la propriété \(P_{n+1}\) telle que « \(A^{n+1} = a_{n+1}A + b_{n+1}I_3\) » est également vraie.

\(A^{n+1} = A^n \times A\)
\(A^{n+1} = a_nA + b_nI_3 \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad\)

[SoS-Math(30)]

C'est bien Pierre pour le début.
Reprenons les deux dernières lignes : \(A^{n+1}=A^{n}\times A\).
D'après l'hypothèse de récurrence, \(A^{n}=a_{n}A+b_{n}I_{3}\).
Ainsi \(A^{n+1}=(a_{n}A+b_{n}I_{3})\times A\). Tu avais oublié les parenthèses autour de l'expression de \(A^{n}\).
A cette étape, il te suffit de "distribuer" la matrice A sur l'expression \(a_{n}A+b_{n}I_{3}\).
Je te laisse poursuivre.

SoSMath

[Invité]

Je développe :

\(A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad\)

ou \(A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A\)