résolution équations trigonométriques

[heline]

Bonjour tout le monde!
Je suis en première et je bloque sur un exercice de maths, voici la consigne:

Effectuer la résolution dans R, puis dans ]-pi;pi], de chacune des équations suivantes.
a. cos(3x-(pi/4) ) = cos(x+(pi/3) )
b. 2sin (x-(pi/4) )-1= 0
c. cos² x= cos² pi/7
d. 2cos (3x)- racine de 3 = 0
e.sin 3x = 1

Alors je n'arrive pas du tout, auparavant en cours on avait résolut des équations moins dur (du genre cos x = (1/2) ) du coup je n'arrive pas à faire pour ces 5. Sachant, je sais que cos x = cos a , pour solutions a + 2kpi et -a + 2kpi de plus sin x = sin a , pour solutions a + 2kpi et pi - a + 2kpi

Pourriez-vous m'aider svp? Merci d'en avance !

[SoS-Math(34)]

Bonjour Heline,

Pour la question a), résolution dans IR, tu peux en déduire que 3x-(pi/4) = x+(pi/3) + 2k*pi avec k entier relatif.
. Il s'agit alors de résoudre l'équation en isolant x et en l'exprimant en fonction de k.
Pour les solutions dans ]-pi;pi], il suffit de trouver parmi les solutions précédentes celles qui sont comprises entre -pi et pi.
(et donc les valeurs de k correspondantes)

b): mettre l'équation sous la forme sin x = b puis trouver a tel que sin a = b pour se ramener à l'équation sin x = sin a
puis utiliser le résultat du cours que tu as écrit dans ton message :
"l'équation sin x = sin a , pour solutions dans IR les réels a + 2kpi et (pi - a) + 2kpi"

d) mettre sous la forme cos x = b puis cos x = cos a.

e) remplacer 1 par le sinus d'un réel connu (utilise ton cercle trigonométrique), puis le cours sur l'équation sin x = sin a .

c) cos² x = cos² a équivaut à cos x = cos a OU cos x = - cos a.
il s'agit alors de résoudre les deux dernières équations.

Bonne recherche
Sos-maths

[heline]

pour a)
3x - (pi/4)= x +(pi/3) + 2k avec k un entier relatif
ou 3x -(pi/4) = - (x+ (pi/3)) + 2k avec k un entier relatif
donc:
2x-(pi/4) = (pi/3) +2kpi
2x =(pi/3) + (pi/4) +2kpi
2x =(pi/3) x (4/4) +(pi/4)x (3/3) +2kpi
2x =(4pi/12) + (3pi/12) +2kpi
2x = (7pi/12) +2kpi
x= 7pi/24 +2kpi
c'est juste?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Heline,

C'est juste sauf la dernière ligne .... x= 7\(\pi\)/24 +2k\(\pi\).
Tu avais 2x = (7\(\pi\)/12) +2k\(\pi\), donc en divisant par 2 les deux membres de l'égalité on obtient x= 7\(\pi\)/24 +k\(\pi\) et non 2k\(\pi\).

De plus il manque la 2ème équation 3x -(\(\pi\)/4) = - (x+ (\(\pi\)/3)) + 2k\(\pi\).

SoSMath.

[heline]

ah ouiii mince j'avais pas remarqué! merci bcp :)
oui je sais je voulais d'abord savoir si c'était juste pour continuer :) merci bcp!

[SoS-Math(9)]

Bonne continuation Heline.

SoSMath.

[heline]

jai fais la deuxième, le résultat est a peu près pareil sauf au debut il n'y a pas 2x mais 4x et le resultat donne x=7pi/24 + 2kpi
par contre dans R et ]-pi;pi] je suis un peu perdue jai que 2 solutions x=7pi/24 + kpi et x=7pi/24 + 2kpi

[heline]

je suis a la troisieme equation et je viens de remarquer que c'est faux des le debut, jai multiplier et il fallait additioner car dans mon cahier d'exos, en cours on avait additioner! Ca me paraissait bizarre ces longs calculs!

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Heline,

D'où vient le x=7pi/24 + 2kpi ?
ensuite pour trouver les valeurs de x dans ]-π;π], il faut prendre des valeurs de k ....
Par exemple avec x= 7π/24 + kπ, pour k = 0 on a x= 7π/24 et 7π/24 appartient à ]-π;π] donc c'est une solution ...
b. 2sin (x-(π/4) )-1= 0 \(\Leftrightarrow\) sin (x-(π/4) ) = 1/2 \(\Leftrightarrow\) x-(π/4) ) = π/6 + k2π ou x-(π/4) ) = ...

SoSMath.

[heline]

pardon, je voulais dire x=7π/48 + 2kπ pour la deuxième solution

b. 2sin (x-(π/4) )-1= 0 ⇔ sin (x-(π/4) ) = 1/2 ⇔ x-(π/4) ) = π/6 + k2π ou x-(π/4) ) = π-(π/6) + 2kπ
donc x= (π/6) + (π/4) + 2kπ ⇔ x= (π/6) x (4/4) + (π/4) x (6/6) + 2kπ ⇔ x= (4π/24) + (6π/24) + 2kπ ⇔ x= (10π/24) + 2kπ
deuxieme solution:
x-(π/4)=π-(π/6) + 2kπ
⇔ x-(π/4)= (5π/6) + 2kπ
⇔ x= (5π/6) + (π/4) + 2kπ
⇔ x= (5π/6) x (4/4) + (π/4) x (6/6) + 2kπ
⇔ x= (20π/24) + (6π/24) + 2kπ
⇔ x= (26π/24) + 2kπ

[SoS-Math(34)]

Bonsoir,

C'est cela pour l'équation b.
Tu peux aussi remarquer que 10/24 = 5/12 et 26/24= 13/12 pour simplifier un peu l'écriture des solutions.

Bonne suite de recherche
Sosmaths

[heline]

Bonjour pour la c. vous m'avez dit "cos² x = cos² a équivaut à cos x = cos a OU cos x = - cos a"
voilà ce que j'ai fais:
cos²x=cos² (π/7)
⇔ cos x = cos (π/7) ou cos x = -cos (π/7)
⇔ x = (π/7) + 2kπ ou x = -(π/7) + 2kπ

pour la dernière (e.)
sin 3x = 1
⇔ sin 3x = (π/2)
⇔3x = (π/2) + 2kπ ou 3x= π - (π/2) + 2kπ
x = (π/6) + 2kπ ou x = -(π/6) + 2kπ

Quen pensez vous?

[SoS-Math(7)]

Bonjour Héline,

Tu as encore des choses à corriger...

cos²x=cos² (π/7)
⇔ cos x = cos (π/7) ou cos x = -cos (π/7) Oui
⇔ x = (π/7) + 2kπ ou x = -(π/7) + 2kπ Non, ici tu n'as résolu que "cos x = cos (π/7)"

Il faut résoudre aussi cos x = -cos (π/7) !

Pour le e)

⇔3x = (π/2) + 2kπ ou 3x= π - (π/2) + 2kπ
x = (π/6) + 2kπ ou x = -(π/6) + 2kπ Attention, il faut diviser tous les termes du second membre par 3 ! tu as donc x = (π/6) + 2kπ/3 !!

Bonne correction.

[heline]

Bonjour Héline,

Tu as encore des choses à corriger...

cos²x=cos² (π/7)
⇔ cos x = cos (π/7) ou cos x = -cos (π/7) Oui
⇔ x = (π/7) + 2kπ ou x = -(π/7) + 2kπ Non, ici tu n'as résolu que "cos x = cos (π/7)" ou x = -(π/7) + 2kπ ou x = (π/7) + 2kπ (- et - = +)

Il faut résoudre aussi cos x = -cos (π/7) !

Pour le e)

⇔3x = (π/2) + 2kπ ou 3x= π - (π/2) + 2kπ
x = (π/6) + 2kπ ou x = -(π/6) + 2kπ Attention, il faut diviser tous les termes du second membre par 3 ! tu as donc x = (π/6) + 2kπ/3 !!

c'est +1,5kpi et non +2kpi

Bonne correction.

j'ai oublié de montrer ce que j'ai fais pour 2cos (3x) - V3 =0
voici:
cos (3x) = (V3/2)
cos (3x) = (pi/6)
3x = (pi/6) + 2kpi ou 3x = -(pi/6) + 2kpi
x = (pi/18) + 2kpi ou x = -(pi/18) +2kpi


En traçant le cercle trigonométrique, je viens de remarquer pour la a., b., les 2 solutions sont au même endroit, c'est normal? car en cours d'habitude, les solutions étaient symétriques..

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Prends le temps de bien relire les remarques et de corriger...

cos x = -cos (π/7) ; pour résoudre cette équation, il faut la travailler pour avoir une équation du type "cos x = cos a" (tu ne sais résoudre que ce type d'équations).

Et attention, \(\frac{2k\pi}{3}\ne 1,5k\pi\).

Bonne continuation.