Fonction exponentielle

[Matthieu]

Bonjour,

Je dois faire un exercice pour la rentrée et je n'arrive pas à répondre aux questions.
Vous trouverez ci-joint l'exercice et mes réponses.

Pour la première question, j'ai essayé de calculer la dérivée de fk, mais sans grand succès car elle ne vérifie pas la condition.

Merci d'avance de votre aide !
A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonjour Matthieu,
la photo de ton sujet est trop petit et on a du mal à lire l'énoncé, peux tu en poster une plus grande.
Merci
SoS-math

[Matthieu]

La voici ...

[SoS-Math(33)]

Attention k est ici une constante multiplicative donc elle intervient pas dans la dérivée.
Tu as \(f_k(t)=ke^{0,25t}\) donc \(f'_k(t) = 0,25ke^{0,25t} = 0,25f_k(t)\) donc elle vérifie la condition.
Tu peux poursuivre ton exercice.
SoS-math

[Matthieu]

Tout d'abord, merci de vos remarques

J'ai commencé la question mais je suis bloqué, je n'arrive pas à trouver la dérivée.
Comme vous pouvez le voir, c'est la seconde partie de la dérivée qui me pose problème.

A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
tu ne connais pas l’expression de f(t), la seule chose que tu sais c’est f’(t)=0,25 f(t).
Pour calculer h’(t) il te faut poser :
u = f(t) donc u’ = 0,25 f(t) et v = \(e^{-0,25t}\) donc v’ = \(-0,25e^{-0,25t}\)
Je te laisse reprendre et terminer tes calculs.

[Matthieu]

Bonjour,

Suite à vos remarques, j'ai calculé la dérivée de h(t). Cependant je ne suis pas sûr de ma réponse et je la trouve assez brute. Comment mieux l'écrire ?

De plus, je ne vois pas quel est le rapport avec les fonctions vérifiant g' = 0,25g.

Merci de votre aide !
A bientôt, et joyeux nöel !

[SoS-Math(33)]

Ton calcul est juste tu trouves 0 pour h'(t) ce qui veux dire que la fonction h est une constante.

[Matthieu]

Bonnjour,

Mais quel rapport avec les fonctions vérifiant g' = 0,25g

A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Tu viens de montrer que h(t) est une constante que je note .
Tu as donc \(f(t)e^{-0,25t}=C\) d'où \(f(t)=C\times e^{0,25t}+B\)
Ainsi tu as la forme des fonctions g(t) : \(g(t) = C\times e^{0,25t}+B\) avec B et C deux constante à déterminer avec la question suivante.
Il te faut poursuivre l'exercice.

[Matthieu]

Bonjour,

Suite à vos remarques , j'ai fini la question 2 et commencé la question 3
J'ai fait un système, trouvé la première équation, mais pas la deuxième ...

Merci d'avance de votre aide.
A bientôt !

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu as montré que \(h\) était une constante, alors il existe un nombre \(C\) tel que pour tout réel \(x\), \(h(t)=C\) ce qui donne \(f(t)e^{-0,25t}=C\).
donc en multipliant par \(e^{0,25t}\) (afin d'isoler \(f(t)\)), on a \(f(t)=Ce^{0,25t}\), et c'est la forme générale des solutions de ton équation (différentielle)
Donc, selon moi, il n'y a qu'une seule constante à déterminer et ton information sur les conditions initiales \(g(0)=100\) te permet de conclure sur la valeur de \(C\).
Bonne continuation

[Matthieu]

Je suis désolé mais je n'arrive pas à suivre et je ne vois pas du tout comment faire

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes fonctions sont de la forme \(g(t)=C\times e^{0,25t}\).
Si tu sais qu'il y a 100 rongeurs au début, cela signifie bien que \(g(0)=100 \) ce qui donne \(g(0)=C\times e^{0}=100\) donc \(C=100\) et ta fonction \(g\) est totalement déterminée : \(g(t)=100\times e^{0,25t}\).
Bonne continuation

[Matthieu]

Bonjour,

Je pense avoir fini la partie A mais je ne suis pas sûr de mes réponses (pour les questions 3 et 4)
Avez vous des remarques ?