Vecteur

[Alice]

Bonjour,
j'attaque aujourd'hui la seconde partie de mon DM.
La première partie étant déjà corrigé par l'un de vos collègue. :)

On a déjà démontrer que AG = ( 2/3 )AA'.
On admet que (vecteur)BG = 2/3(vecteur)BB' et (vecteur)CG = 2/3(vecteur)CC'
2) Démontrer que (vecteurs)GA + GB + GC = 0(vecteur nul )

GA+GB+GC=0
donc avec Chasles :
GA+GA+AB+GA+AC=0
c'est à dire :
3GA=-AB-AC
et finalement :
3AG=AB+AC

3) a. Construire le point K tel que OK = OA + OB + OC. Quelles conjectures pouvez-vous faire ?

b. Démontrer que OB + OC = 2OA'. En déduire l'expression de AK en fonction de OA'.

c. Justifier que les droites (AK) et (OA') sont parallèles.

Merci d'avance pour votre aide.

[Alice]

Pour la 3) a. J'ai noté : OK = OA + OB + OC
mais OB + OC = 2OA'
ce qui donne OA + AK = OA + 2OA'
AK = 2OA'
Mais je ne pense pas que ce soit ça.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Alice,
pour la question 2) ton calcul est correct mais tu ne montres pas le résultat, il manque une conclusion.

Tu dois partir de \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) et arriver à \(\overrightarrow{0}\).
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
Or \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}= 2\overrightarrow{AA'} = 3\overrightarrow{AG}\)
Donc \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{0}\)

3a) si tu as fait la construction tu dois pouvoir conjecturer que O,K,G sont alignés.

3b) il te manque le début
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'C}\)
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}\)
Or A' milieu de [BC] donc \(\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{0}\)
et donc \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}\)
ce que tu as fait ensuite est correct
Il te faut terminer l'exercice maintenant

[Alice]

Merci, je comprend mieux maintenant, la démarche à faire.

c. AK = 2OA' donc (AK) et (OA') sont parallèles.

d. Démontrer que les droites (AK) et (BC) sont perpendiculaire.

Comme OA' est sur une médiatrice, ce vecteur est perpendiculaire à (BC) donc (AK) l'est aussi et K est la
hauteur issue de A.

[SoS-Math(33)]

Oui ton raisonnement est correct.
OBC est isocèle en O et A' milieu de [BC] donc (OA') médiatrice de [BC] donc (OA') perpendiculaire à (BC)
Comme (AK) et (OA') sont parallèles alors (AK) et (BC) sont perpendiculaires.

[Alice]

Il ne me reste plus qu'une petite partie.

f) En déduire que l'orthocentre H du triangle ABC vérifie (vecteur)OH = OA + OB + OC
(AK) est perpendiculaire à (BC) donc (AK) est la hauteur issue de A
(BK) perpendiculaire à [AC] donc (BK) est la hauteur issue de B

ces deux hauteur ont pour point commun K donc K est l'orthocentre du triangle (ABC).
donc H=K

donc OH=OA+OB+OC

4) Démontrer que OH = 3OG
Les conjectures sont-elles vérifiées ?

L'orthocentre H et K sont confondus.

[Alice]

En tout cas merci d'avoir pris le temps de m'aider.
Bonne soirée.

[SoS-Math(33)]

De quelles conjectures parles tu?

[Alice]

Ils faut conjecturer OH = 3OG

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Alice,
je pense que l'on te demande grâce à ce résultat de vérifier si les conjectures faites à la question 3) sont vraies.