DM de math

[Alice]

Bonsoir, j'ai une devoir maison et j'ai pas mal de question à poser.

ABC un triangle, le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC et centre de gravité G du
triangle ABC.
On appellera A' , B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].

1) On veut démontrer que AG = ( 2/3 )AA'.
Pour cela on construit le point D symétrique de A par rapport à G.

a. Démontrer que BGCD est un parallélogramme.
b. Quelles relations peut-on établir alors avec le point A'.
c. Démontrer que AG = 2/3AA'. Pourquoi peut-on écrire (vecteur)AG = 2/3(vecteur)AA' ?
J'ai pensé faire comme ci-dessous, mais je ne pense pas que ce soit ça.

GA + GB + GC = 0
GA + GA+ AB + GA +AC = 0
3 GA = - AB - AC
3 AG = AB + AC
3 AG = AA' + A'B + AA' + A'C

Or A'B + A'C = 0 puisque A' est le milieu de [BC]

Donc 3 AG = 2 AA'
Et AG = 2/3 AA'

Voilà c'est tout ce que j'ai pu faire.
Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Alice,

C'est très bien ce que tu as fait tu peux le conserver.
Il faudrait que tu puisses appliquer la démarche de ton professeur.

Pour le 1, il faut démontrer que (BD)//(GC) en se plaçant dans le triangle BAD, de même pour (BG)//(DC)...

Bon courage !

[Alice]

J'ai noté que
BG = DC BD = GC
BA + AG = DA + AC BA + AD = GA + AC

Je ne pense pas que ce soit sa.

[Alice]

Dois-je plutôt le démontrer comme ci-dessous ?

CG parallèle et de même longueur que BD
et BG parallèle et de même longueur que CD.
car G est le centre de gravité de ABC et que D est l'image de A par G.

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Alice,
pour montrer que BGCD est un parallélogramme il te suffit de montrer que les côtés opposées sont parallèles.
Pour cela tu dois utiliser la droite des milieux dans le triangle ABD pour (BD)//(GC), puis dans le triangle ACD pour (BG)//(DC).
Je te laisse faire la démonstration.

[Alice]

D est le symétrique de A par rapport à G, alors G est le milieu de [AD].
[C'C] est la médiane du triangle ABC issue de C coupant [AB] en C', alors C' est le milieu de [AB]
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés opposés, alors elle est parallèle au 3ème côté.
Donc (GC) est parallèle à (BD).

[AA'] est la médiane du triangle ABC issue de A en coupant [AC] en A', alors A' est le milieu de [BC]
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés opposés, alors elle est parallèle au 3ème côté.
Donc (BG) est parallèle (DC).

Donc si (GC)//(BD) et (BG)//(DC) alors BGCD est un parallélogramme.

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça Alice,
maintenant il te faut faire la question suivante, toujours avec une propriété du parallélogramme, pour trouver une relation sur A'.

[Alice]

Comme (BG)//(DC) alors A' est le milieu du parallélogramme BGCD.

[SoS-Math(33)]

A' est l'intersection des diagonales du parallélogramme donc c'est le milieu des diagonales.

[Alice]

OK, merci.

c) Démontrer que AG = 2/3AA' ( c'est fait ). Pourquoi peut-on écrire (vecteur)AG = 2/3AA'(vecteur) ?
J'ai une idée mais elle est un peu confuse : on a utilisé la relation de Chasle et on a calculer un ensemble de point
( AG par exemple ) en fonction d'un autre ensemble de point ( tel que AA' )

[SoS-Math(33)]

Tu peux écrire \(\overrightarrow{AG}= \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\) car les points A,G,A' sont alignés et que G \(\in\) [AA']

[Alice]

Merci d'avoir pris le temps de m'aider.
Je n'hésiterai pas à revenir.

[SoS-Math(33)]

Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math