Spécial maths

[Marie]

Bonjour, je fais un exercice de maths mais je suis pas sur de ma réponse pouvez m’aidez s’il vous plaît ?
Donc on sait que à b et c sont impairs
1/ déterminer le reste de la division euclidienne de a^2+b^2+c^2par 8.
J’ai trouver que le reste est 3 grâce au congruence.
2/ en déduire que a^2+b^2+c^2 n’est pas un carré parfait
J’ai mis que comme a^2+b^2+c^2 congru a 3 mod8 alors racine de 3 n’est pas un entier donc le carré n’est pas parfait mais cela est il juste ?
Merci
Marie

[SoS-Math(31)]

Bonjour Marie,
1) oui, en écrivant a², b² et c² modulo 8 on trouve un reste de 3.
2) Tu ne peux pas prendre la racine carré avec les congruence.
Par contre a² + b² + c² = 3(mod8) mais si n est un entier, à quoi est congru n² modulo 8? Peut-on avoir 3?

[Marie]

Je ne vois toujours pas trop comment faire pour la question 2

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu as montré que \(a^2+b^2+c^2\equiv 3\,[8]\), il faut voir maintenant si un tel nombre peut être sous la forme d'un carré en regardant les congruences possibles de \(n^2\) modulo 8.
si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair et est même multiple de 4 donc il est congru à 0 ou 4 modulo 8 : une congruence modulo 3 est donc impossible.
Si \(n\) est impair, alors \(n=2k+1\) et donc \(n^2=(2k+1)^2....+1\). Comme \(.....\) est multiple de 4, il est congru à 0 ou 4 modulo 8, donc \(....+1\) est congru à 1 ou 5 modulo 8, on peut même prouver que c'est toujours congru à 1 modulo 8, en affinant un peu l'étude du nombre \((2k+1)^2\).
Au final, \(n^2\) n'est jamais congru à 3 modulo 8.
Donc le nombre \(a^2+b^2+c^2\) qui est congru à 3 modulo 8, ne peut jamais s'écrire comme un carré.
Est-ce plus clair ?