Récurrence

[Florian]

Bonjour,

j'ai un petit problème sur une récurrence merci d'avance !


Un+1 = ((Un)^2 + 3 ) / ( (Un) +1) et Uo=5

il faut démontrer par récurrence que pour tt entier naturel n, 3 ≤ Un+1 ≤ Un

Initialisation:
On appelle Pn la propriété qui établit que pour tt entier naturel n, 3 ≤ Un+1 ≤ Un

On vérifie que la propriété est vraie au rang 0

Uo= 5

Un+1 = ((Un)^2 + 3 ) / ( (Un) +1) donc, Uo+1 = U1 = ((Uo)^2 + 3) / ( Uo +1) = (5^2 +3) / ( 5+1) = 28/6 = 4.6667...

donc 3≤ U1≤ Uo car 3≤ 4.6667....≤ 5 Ainsi, Po est vraie.

Hérédité:
On suppose que la propriété est vraie à un rang p≥0

C'est à dire que 3≤ Up+1 ≤ Up (hypothèse de récurrence)

et on veut démontrer que la propriété est vraie à un rang p+1

c'est à dire 3≤ Up+2 ≤ Up+1.

- démonstration

C'est là que je ne sais pas trop comment m'y prendre...
Merci pour votre aide,

Cordialement,
Florian.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Florian,

Pour commencer on a : \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=\frac{x^2+3}{x+1}\)
Tu peux par exemple montrer que sur [3 ; + \(\infty\)[ la fonction f est croissante ...

D'où :
comme f est croissante sur [3 ; + \(\infty\)[ et que 3≤ Up+1 ≤ Up
on a donc : f(3) ≤ f(Up+1) ≤ f(Up) soit f(3)=3 ≤ Up+2 ≤ Up+1.

SoSMath.

[Florian]

Merci infiniment !!!!!!!
Bonne fin de vacances !!

Florian.

[SoS-Math(9)]

Bon courage Florian.

SoSMath.