Exercice de spécialité

[sos-math(21)]

Bonjour,
pourquoi l'écart entre \(a_1\) et \(b_1\) est-il de 2 ?
Il peut varier de 1 à 9 en valeur absolue mais cela ne change pas la conclusion car on ne rajoute/enlève pas de multiple de 10 donc la divisibilité par 10 est perdue.
Il faut maintenant que tu étudies le cas ou le rang est pair : tu aboutiras à la même conclusion mais il faut quand même le faire car le traitement n'est pas le même dans le calcul de la somme.
Bonne continuation

[Invité]

Bonjour,
pourquoi l'écart entre \(a_1\) et \(b_1\) est-il de 2 ?

Je me suis trompé en effet. L'écart en valeur absolue peut varier entre 0 et 9.

Il peut varier de 1 à 9 en valeur absolue mais cela ne change pas la conclusion car on ne rajoute/enlève pas de multiple de 10 donc la divisibilité par 10 est perdue.

On est d'accord, ça j'ai compris.

Il faut maintenant que tu étudies le cas ou le rang est pair : tu aboutiras à la même conclusion mais il faut quand même le faire car le traitement n'est pas le même dans le calcul de la somme.

Cas dans lequel le rang est pair :

Supposons qu'à la place d'avoir un code-barres de la forme suivante :

\(a_1a_2a_3...a_{13}\)

Nous avons cette fois-ci un code-barres de la forme suivante dans lequel nous avons modifié le chiffre \(a_2\) :

\(a_1b_2a_3...a_{13}\) avec \(a_2 \neq b_2\).

L'énoncé, dans la question 3) a), nous indique que l'erreur est détectée par la clé de contrôle si un seul des chiffres a été modifié et est erroné ce qui signifie que les autres chiffres restent identiques.

Pour le premier code-barres : \(3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})\) est divisible par 10 (code-barres valide).

Pour le deuxième code-barres : \(3(b_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})\) doit être divisible par 10 pour que le code-barres soit valide mais étant donné que l'on a modifié le chiffre \(a_2\), la somme du deuxième code-barres est différente. De ce fait, le code-barres n°2 ne peut pas être divisible par 10 car on a multiplié par 3 un autre chiffre. Le tout n'est pas divisible par 10, la propriété n'est pas vérifiée, le code-barres est invalide.

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela.
L'écart entre les chiffres est multiplié par 3, ce qui ne donne pas un nombre divisible par 10, quel que soit l'écart entre les chiffres. La divisibilité par 10 est de nouveau perdue.
Au final, l'erreur est détectée puisque la propriété de divisibilité par 10 de la "somme" n'est plus vérifiée.
Bonne continuation

[Krayz]

Parfait :) Je suis content d'avoir compris :)

Concernant la question 3) b), on a vu en 1) c) que l'erreur n'est pas forcément détecter (si la différence en valeur absolue de 2 chiffres consécutifs vaut 5).

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela mais comment as-tu obtenu cette condition ?

[Krayz]

C'est-à-dire ?

[Krayz]

Oui, c'est cela mais comment as-tu obtenu cette condition ?

J'ai calculé la différence en valeur absolue entre deux chiffres consécutifs permutés.

[Krayz]

Rebonjour,

Veuillez m'excuser du triple post.

Concernant la question 3) b), voici ce que je propose :

Nous pouvons affirmer que toutes les erreurs de saisie ne peuvent pas être détectées grâce à la clé de
contrôle. En effet, prenons l’exemple de la question 1) c) : la permutation de \(C_{10}\) et \(C_{11}\) (deux chiffres consécutifs) n’est
pas détectée.

[Krayz]

Question 4 : Déterminer le chiffre manquant du code C : \(325\) \(2x37\) \(04176\) \(7\).

Un code-barres valide doit respecter la propriété ci-dessous :

\(3 \times \sum_{k=1}^{6} a_{2k} + \sum_{k=0}^{6}a_{2k+1}\) soit \(3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})\) qui doit être divisible par 10.

\(C = 3(2+2+3+0+1+6)+(3+5+x+7+4+7+7) = 10k\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))
\(C = 75 + x = 10k\)

De plus, nous savons que \(0 \le x \le 9\).

Par déduction, \(x = 5\).

Le code C est donc le suivant : \(325\) \(2537\) \(04176\) \(7\).

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta dernière question est correcte.
Je voudrais juste voir la rédaction de ta démarche pour prouver que si l'écart entre les deux chiffres échangés est égale à 5 en valeur absolue, alors l'erreur n'est pas détectée.
Essaie de faire un raisonnement avec des calculs avec les sommes de termes.

[Krayz]

Je voudrais juste voir la rédaction de ta démarche pour prouver que si l'écart entre les deux chiffres échangés est égale à 5 en valeur absolue, alors l'erreur n'est pas détectée.
Essaie de faire un raisonnement avec des calculs avec les sommes de termes.

\(C : 9 782701 158334\)
\(C = 3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})\)
\(C' = 100\) Or, 10 divise 100 donc le code-barres est valide.

\(C' : 9 782701 153834\)
\(C' = 3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})\)
\(C' = 90\) Or, 10 divise 90 donc le code-barres est valide.

Les deux code-barres sont valides, ils ont la même clé de contrôle, ici 4 donc l'erreur ne peut être détectée.

[sos-math(21)]

Cette rédaction est correcte.
Bonne continuation

[Krayz]

Parfait, merci à vous :)

See you soon ! =)

[sos-math(21)]

Bonne continuation,
à bientôt sur sos-math

[Krayz]

Question de rédaction :

Doit-on écrire C = 9782701158334 ou C : 9782701158334
Doit-on écrire C = 3(a2+a4+...+a12)+(a1+a3+...+a13) ou C : 3(a2+a4+...+a12)+(a1+a3+...+a13)

= ou :