Suites

[Thomas]

Bonjour,

Souhaitant mettre à profit mes vacances pour faire des exercices type bac, j'aurai besoin de votre aide.

Vous trouverez l'énoncé de l'exercice ainsi que mes réponses en pièce-jointe.

Comme vous pouvez le voir je bloque à la toute dernière question. Je me suis noyé dans mes calculs et je ne sais plus comment continuer ...
De plus, si vous pouviez me dire si mes réponses précédentes sont correctes ?

J'aimerai que vous restiez assez "flou" dans votre correction car il ne s'agit pas d'un exercice noté. Il n'y a pas " d'enjeux réels" hormis m'entraîner.

Merci d'avance de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis d'accord pour le début.
Pour l'expression de \(u_n\), la récurrence n'est pas nécessaire. Tu peux t'appuyer sur l'expression de \(v_n\) qui est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\) et de premier terme \(v_0=-5\) donc d'après le cours on a pour tout entier \(n\) \(v_n=v_0\times q^n=....\) puis utiliser le fait que \(u_n=v_n+6\).
Pour la limite, cela me semble correct.
Pour la suite \(w_n\), cela me paraît embrouillé au niveau de tes calculs.
Je te propose de démontrer par récurrence que \(w_n=1+2n\) ce qui prouvera que la suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme \(w_0=1\).
Rédige ta récurrence, tu auras sûrement besoin de la relation \(nw_{n}=(n+1)w_{n-1}+1\) qui s'écrit au rang \(n+1\) : \((n+1)w_{n+1}=(n+2)w_{n}+1\).
Bonne rédaction.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Thomas,
même si cela semble le cas il ne faut pas prendre Wn comme une suite arithmétique, il te faut trouver une relation entre Wn et n et la valider ensuite par récurrence.
Essaye une forme an+b ou an²+bn+c ....

[Thomas]

Je pense avoir suivi vos conseils mais je trouve quelque chose d'étrange ...

[sos-math(21)]

Ton calcul est erroné : si tu as \((p+2)W_p\) alors cela fait \(p\times W_p+2\times W_p\).
Ceci dit, il aurait été préférable de remplacer directement \(W_p\) par \(1+2p\) (hypothèse de récurrence).
Reprends cela

[SoS-Math(33)]

Attention Thomas tu confonds p en tant que nombre et p en tant qu'indice.
(p+2)Wp
nombre indice
\((p+1)W_{p+1}=(p+2)W_p + 1\)
\((p+1)W_{p+1}=(p+2)(2p + 1) + 1\)
à toi de poursuivre

[Thomas]

Suite à vos remarques j'ai continué mais je ne sais pas comment me débarrasser de ce facteur (p+1) ...

[SoS-Math(33)]

Sachant le résultat auquel tu dois arriver tu dois te douter que tu peux factoriser le numérateur par (p+1)
Ceci te donne : 2p²+5p+3 = (p+1)(2p+3) et ainsi tu peux simplifier par (p+1) et tu obtiens \(W_{p+1}\)=(2p+3)
Il te reste à faire apparaitre la récurrence voulue.

[Thomas]

Bonsoir,

Je pense avoir fini, mais est-ce bon ?

Merci beaucoup de votre aide !

[SoS-Math(33)]

Tu peux rajouter \(W_{p+1}\)=(2p+3)=2(p+1)+1 pour bien tomber sur l'hypothèse de récurrence
Sinon ce que tu as fait est correct.
C'est bien.
Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math