Points alignés avec nombres complexes

[Lexa]

Bonjour, depuis quelques jours je bloque sur un dm de maths, nous venons tout juste d'étudier la géométrie avec les nombres complexes:
ABC est un triangle (les points A, B, C ne sont pas alignés). On considère le point G
d’affixe
zG = (zA + zB + zC)/3
On souhaite montrer que le point G est le centre de gravité du triangle ABC. On notera A′, B′, C′
les milieux respectifs des côtés [BC], [C A], [AB] du triangle ABC.
1. Montrer que A, A′, G sont alignés. Préciser la position de G sur le segment [A A′].

J'ai écrit que, sachant que A' est le milieu de [BC] zA'= (zB+zC)/2 et j'ai essayé de montrer que si les points A, A', G sont alignés, le quotient (zA-zA')/(zG-zA') appartenait aux réels mais cela ne donne rien.
Merci de votre réponse

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
il te faut utiliser zA'= (zB+zC)/2 avec zG = (zA + zB + zC)/3 et partir de zG-zA' et tu devrais arriver à : zG-zA'=(zA-zA')/3
Je te laisse faire le calcul.

[Lexa]

Bonjour, depuis quelques jours je bloque sur un dm de maths, nous venons tout juste d'étudier la géométrie avec les nombres complexes:
ABC est un triangle (les points A, B, C ne sont pas alignés). On considère le point G
d’affixe
zG = (zA + zB + zC)/3
On souhaite montrer que le point G est le centre de gravité du triangle ABC. On notera A′, B′, C′
les milieux respectifs des côtés [BC], [C A], [AB] du triangle ABC.
1. Montrer que A, A′, G sont alignés. Préciser la position de G sur le segment [A A′].

J'ai écrit que, sachant que A' est le milieu de [BC] zA'= (zB+zC)/2 et j'ai essayé de montrer que si les points A, A', G sont alignés, le quotient (zA-zA')/(zG-zA') appartenait aux réels mais cela ne donne rien.
Merci de votre réponse

[SoS-Math(33)]

Bonjour tu as eu une réponse à ton message, pourquoi le reposter?

[Lexa]

Merci !! je viens de réussir le calcul en factorisant à un moment donné, maintenant le seul problème c'est que je ne vois pas en quoi les points sont alignés.

[Lexa]

Excusez je me suis trompée au départ...

[SoS-Math(33)]

Pas grave,
tu obtiens donc zG-zA'=(zA-zA')/3, ce qui veux dire que tu as :
\(\overrightarrow{A'G} = \frac{1}{3} \overrightarrow{A'A}\) c'est à dire les vecteurs sont colinéaires donc les points A, A' et G sont alignés.
Tu as par la même occasion la position de G sur [AA']

[Lexa]

Je vous remercie de votre aide et de la rapidité de vos réponses ce site est super ! Bonne journée :)

[SoS-Math(33)]

Merci
Bonne journée
A bientôt sur le forum
SoS-math