devoir maison dérivation

[michael Ts]

Bonjour, j'ai un devoir maison sur les dérivation
la fonction est (3(x-1)^3)/(3x²+1)
donc la dérivé est de la forme (u'v-uv')/v²
u=3(x-1)^3
u'=(162x)²-18x+9
V=3x²+1
v'=6x

J'aboutis une fonction dérivé qui me semble bizarres

[(((162x)²-18x+9)*(3x²+1))-(3(x-1)^3)*6x]/(3x²+1)²
Le résultat me semble étrange

[SoS-Math(33)]

Bonjour Michael,
ton raisonnement est correct il y a simplement une erreur dans ton u'
u=\(3(x-1)^3\) u' = \(9(x-1)^2\) ce qui donne si tu développes u' = \(9x^2 - 18x + 9\)
Je ne sais pas d'où vient ton 162x

[michael Ts]

D'accord, dois-je développer ou pas? on me demande également d'étudier de signe de la dérivé, or je ne m'en souvient pas, pourriez-vous m'aider?

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
il vaut mieux que tu ne développes pas car ensuite tu pourras factoriser le numérateur par \((x-1)^2\)
Ta dérivé va être un quotient avec un carré au dénominateur donc tjrs positif. Il te suffiras d'étudier le signe du numérateur qui devrait être un produit de deux expressions
\((\frac{3(x-1)^3}{3x^2+1})'\) = \(\frac{9(x-1)^2(.....)}{(3x^2+1)^2}\) tu dois obtenir cette forme à la fin de tes calculs.

[michael Ts]

J'obtient le résultats suivants qui me semble lui aussi erroné.

\(\frac{9(x-1)^2[(3x^2+1)-18x^2-9x]}{(3x²+1)^2}\)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Michael,

Tu vas un peu trop vite .... écris d'abord le résultat de la dérivée \((\frac{u}{v})^{'}\) puis factorise.

SoSMath.

[michael Ts]

Je suis désolé mais je comprend pas comment procéder, j'ai :
\(\frac{(9x²-18x+9)(3x²+1)-(3(x-1)*6x}{(3x²+1)²}\)

[SoS-Math(33)]

Bonsoir,
il ne faut pas que tu développes le u', je pense aussi que tu as oublié l'exposant 3 pour le u.
Tu dois obtenir :
\(u' = 9(x-1)^2\)
\(v' = 6x\)
\(\Large{\frac{u'v-v'u}{v^2} = \frac{9(x-1)^2(3x^2+1)-6x\times 3(x-1)^3}{(3x^2+1)^2}}\)
Je te laisse poursuivre pour la factorisation

[michael Ts]

on a donc
\(\frac{9(x+1)²(x+1)²}{(3x²+1)²}\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu devrais avoir du \((x-1)^2\)... ce ne serait pas plutôt \(\dfrac{9(x-1)^2(x+1)^2}{(3x^2+1)^2}\) ?
Bonne continuation

[SoS-Math(33)]

Attention tu as fait une erreur dans ton écriture:

\(\Large\frac{9(x\color{red}-\color{black}1)²(x+1)²}{(3x²+1)²}\)

[michael Ts]

Si j'ai fais une erreur de frappe, pour étudier le signe de la dérivé, le dénominateur est toujours positif donc on ne s'occupe que du numérateur, comment dois-je m'y prendre? une histoire de discriminant ?

[SoS-Math(33)]

Le dénominateur est le produit de deux carrés par 9 donc il est toujours positif.
Il suffit de chercher les valeurs qui annulent la dérivé.

[michael Ts]

Merci de votre aide précieuses.

[SoS-Math(33)]

C'est avec plaisir.
Bonne journée
SoS-math