Dm de maths sur les vecteurs

[Clara]

Bonjour, j'ai un devoir à rendre pour la rentrée, et j'ai quelques difficultés.
Voici l'énoncé:
Soit ABC un triangle.
1) Construire les points K et L tels que vecteur AK = -3/2 vecteur AC et vecteur AL = 3/4 vecteur AB
2) Construire le point M tel que vecteur CM = -5 vecteur BM. On pourra exprimer CM en fonction de CB

J'ai fais cette partie (voir image) mais je ne suis pas sûre de l'emplacement de mon point M. J'ai trouvé que vecteur CM = 5/6 vecteur CB

On veut montrer que les points K,L et M sont alignés :
3) Méthode 1: on se place dans le repère (A; AB, AC)
a. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, K, L et M

J'ai trouvé A(0;0) puisque c'est l'origine du repère
B(1;0) puisque (AB) est l'axe des abscisses
C(0;1) puisque (AC) est l'axe des ordonnées
K(0;-3/2) puisque vecteur AK = 0 vecteur AB - 3/2 vecteur AC
L(3/4;0) puisque vecteur AL = 3/4 vecteur AB + 0 vecteur AC
Et je n'arrive pas à trouver les coordonnées du point M, je suis bloquée à vecteur CM = -5/6 vecteur AC + 5/6 vecteur AB

b. Démontrer que les points K, L et M sont alignés
Je n'ai pas réussi à faire puisque je n'ai pas les coordonnées du point M

Méthode 2:
a. Exprimer vecteur KL et vecteur KM en fonction de vecteur AB et vecteur AC

vecteur KL= vecteur KA + vecteur AL
= 3/2 vecteur AC + 3/4 vecteur AB

vecteur KM = vecteur KA + vecteur AC + vecteur CM
= - vecteur AK + vecteur AC + 5/6 vecteur CB
= - vecteur AK + vecteur AC + 5/6 ( vecteur CA + vecteur AB )
= 3/2 vecteur AC + vecteur AC - 5/6 vecteur AC + 5/6 vecteur AB
= 5/6 vecteur AB + 5/3 vecteur AC

b. Démontrer que les points K, L et M sont alignés
Je n'arrive pas à trouver le coefficient, alors je pense qu'il y a une erreur dans mes calculs mais je ne vois pas où


Merci de l'aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ton début est correct, il te manque juste les coordonnées du point mais tu as déjà celles de \(\overrightarrow{CM}\left(\begin{array}{c}\dfrac{5}{6}\\-\dfrac{5}{6}\end{array}\right)\).
Il te reste à dire que par définition des coordonnées d'un vecteur, tu as \(\overrightarrow{CM}\left(\begin{array}{c}x_M-x_C\\y_M-y_C\end{array}\right)\).
Cela te fera deux petites équations à résoudre pour trouver les coordonnées du point \(M\).
Une fois cela fait, tu pourras calculer les coordonnées (par exemple) de \(\overrightarrow{LM}\) et \(\overrightarrow{KL}\) et montrer que ces deux vecteurs sont colinéaires.
Bon courage.

[Clara]

Bonjour,
En résolvant les équations j'ai trouvé que le point M avait pour coordonnées (5/6;1/6)

Or quand je calcule les coordonnées des vecteurs LM et KL je ne trouve pas le coefficient qui permet de montrer que les vecteurs sont colinéaires
J'ai vecteur LM = (1/12;1/6) et vecteur KL = (3/4; 3/2)

[sos-math(21)]

Clara,
tes calculs sont corrects donc il ne doit pas y avoir de problème.
Est-ce nécessaire de faire apparaître un coefficient de colinéarité ? Tu pourrais t'en sortir en vérifiant la proportionnalité des coordonnées par un simple produit en croix.
Mais si tu as vu en classe qu'il fallait un coefficient colinéarité, je te conseille alors de mettre les 4 coordonnées sur le même dénominateur (tout sur 12 par exemple)
Le coefficient va te "sauter aux yeux".
Bonne continuation

[Clara]

Lorsque je multiplie les coordonnées entre elles en faisant un produit en croix, je trouve 5/4.
Seulement, en mettant tout sur le même dominateur, 5/4 ne me semble pas juste

[Clara]

Bonjour,
C'est bon j'ai trouvé mon erreur dans le message au dessus, le coefficient est donc 9.
Je n'ai plus qu'à faire la même chose pour la méthode 2.

Merci beaucoup pour l'aide !

[sos-math(21)]

Bon c'est correct.
Avec les produits en croix tu aurais : \(xy'-x'y=\dfrac{1}{12}\times \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{24}-\dfrac{3}{24}=0\) donc cela fonctionne.
Je te laisse poursuivre la suite de ton dm.