division euclidienne

[alice]

bonjour, je suis en train de fairfe un exercice de spé mais je suis bloquer pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

1) (n+1)^3
= (n+1)^2x(n+1)
= (n^2+1+2n)(n+1)
= n^3+3n^2+3n+1

et
n^2(n+3)+3n+1
= n^3+3n^2+3n+1
donc (n+1)^3=n^2(n+3)+3n+1


2) --> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3 = k(n+3)+(3n+1) soit k= n^2 donc oui il peut être le reste de la division.
Cependant je ne sais pas comment faire pour trouver les valeurs de n.
--> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3= kn^2+3n+1 soit k = n+3 donc oui il peut être le reste.
Là non plus je ne sais pas comment trouver les valeurs de n.

Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
merci d'avance
alice

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te rappelle la condition sur le reste pour qu'une écriture du type \(a=bq+r\) soit l'écriture de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).
Il faut que le nombre \(r\) vérifie \(0\leqslant r<b\) : c'est-à-dire qu'il faut avoir enlevé le maximum de fois \(b\) dans \(a\) (car si \(r\geqslant b\), on peut enlever encore au moins une fois \(b\) dans \(r\)).
Donc ici, \(3n+1\) reste de la division euclidienne de \((n+1)^3\) par \(n+3\) implique \(3n+1<n+3\) cela donne des conditions sur \(n\).
Même chose pour l'autre question
Bonne continuation

[alice]

Daccord donc
--> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3 = k(n+3)+(3n+1) soit k= n^2 donc oui il peut être le reste de la division.
or, on sait que le reste de la division doit être compris entre 0 et n+3. Donc
3n+1<n+1
3n+1-n-3<0
2n-2<0
2n<2
n<1
de plus, le reste supérieur a zero donc
0<3n+1
-3n<1
n<-1/3
donc les valeurs possible de n sont tous les entier n compris entre -1/3 et 1.

--> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3= kn^2+3n+1 soit k = n+3 donc oui il peut être le reste.
or, on sait que le reste de la division doit être compris entre 0 et n^2. Donc
3n+1<n^2
-n^2+3n+1<0

delta =13 donc n1= (3+racine(13))/2 et n2= (3-racine(13))/2

n -l'infinie (3-racine(13))/2 (3+racine(13))/2 + l'infinie
-n^2+3n+1 - 0 + 0 -


or, le reste doit être supérieur a 0 donc les valeur possible de n sont comprise entre (3+racine(13))/2 et +l'infinie.



voilà, es-ce cela qu'il fallait trouver?
merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes réponses manquent de clarté : travaille par implication
si 3n+1 est le reste de la division euclidienne de \((n+1)^3\) par \(n+3\) alors \(0\leqslant 3n+1<n+3\), alors cela implique que n<1
D'ailleurs tu fais une erreur dans ta résolution :

-3n<1
n<-1/3 : tu divises par -3, ce qui change le sens de l'inégalité donc n>-1/3

Ceci dit, c'est inutile de résoudre cette inéquation car \(n\) est positif donc \(3n+1\leqslant 0\) pour tout entier nature \(n\).
Donc n=0 est la seule solution, et on a bien 1=0\times 3+1.
Pour la seconde question tu es amenée à résoudre \(3n+1<n^2\) soit \(n^2-3n-1>0\) (équivalente à ton inéquation)
Tes calculs semblent corrects, il faut juste voir à quoi cela correspond pour des entiers \(n\leqslant \ldots).
Bonne conclusion