DM Complexes

[Marine]

Bonjour, je souhaiterai être conseiller pour quelques questions de mon DM.

Exercice:

Soit f la fonction définie sur C par f(z)= (z-3+i)/(z+2-i)

2) Calculer f(1+2i) Il faut calculer l'image de 1+2i, c'est bien cela ?

3) Déterminer les antécédents de 2i par f

J'ai effectué ceci :

f(z) = 2i
(z-3 +i)/(z+2-i) = 2i
(z-3 +i)/(z+2-i) -2i = 0
(z-3+i -2i(z+2-i))/(z+2-i) = 0
(z-3+i-2iz-4i+2i^2)/(z+2-i)= 0
(z-5-3i-2iz)/(z+2-i) =0 équivaut à

z+2-i ≠ 0
z ≠ -2+i

et

z-5-3i -2iz = 0
z-2iz = 5+3i
z(1-2i) = 5+3i
z = (5+3i)/(1-2i)
z = (5+3i)(1+2i)/(1-2i)(1+2i)
z = (5+10i +3i +6i^2) / (1^2+2^2)
z = (-1+ 13i) /5

Est -ce correct ? Ce qui me gène, c'est le i au dénominateur et la consigne avec "les antécédents" alors que je ne trouve qu'un antécédent

En faite, mon professeur m'a conseiller de faire : (z-3 +i)/(z+2-i) = 2i
(z-3+i -2i(z+2-i))/ (2i *(z+2-i)) = 0
mais je ne comprends pas pourquoi il y a 2i au dénominateur ...


4) Déterminer les antécédents de 5 par f
J'ai effectué la même démarche que pour 2i

f(z) = 5
(z-3 +i)/(z+2-i) = 5
(z-3 +i)/(z+2-i) - 5 = 0
(z-3+i -5(z+2-i))/(z+2-i) = 0
(z-3+i-5z-10+5i)/(z+2-i)= 0
(-4z +6i -13)/(z+2-i) = 0 équivaut à

z+2-i ≠ 0
z ≠ -2+i

et

-4z + 6i -13 = 0
-4z = -6i +13
z= (-6i +13)/(-4)
z = (-13/4) + (3/2)i

J'ai le même soucis que pour la question précédente

Je vous remercie pour l'aide que vous m'apporterez.

[sos-math(27)]

Bonjour Marine,
J'ai recompté, et tout me semble correct. A la fin, le 'i' ne figure plus au dénominateur il me semble?
La consigne sur les antécédents peut te troubler, mais le résultat est juste.
Pour la question 1) c'est bien la démarche en n'oubliant pas de mettre le quotient sous la forme a+ib.

Tu as bien travaillé !
à bientôt

[Marine]

Je vous remercie pour votre réponse rapide. Si j'ai bien compris, c'est possible qu'il n'y ait qu'un antécédent malgré la consigne de départ.
En faite, je pensais qu'il fallait éliminer le i au dénominateur avant de trouver la solution.
Par contre, je ne comprends pas pourquoi mon professeur m'a parlé de 2i au dénominateur.
Encore merci pour votre réponse.

[sos-math(21)]

Bonjour,
je confirme ce que ma collègue t'a dit et je ne vois pas le sens du \(2\text{i}\) au dénominateur.
Cela aurait été valable si tu avais eu à chercher les antécédents de \(\dfrac{1}{2\text{i}}\) par exemple.
Bonne continuation

[Marine]

Je vous remercie pour votre aide
Bonne soirée