DM sur les vecteurs

[Margot]

Bonjour,
J'ai un devoir maison à réaliser pour le 6 novembre. Voici le sujet:

Soit ABC un triangle, K et L les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
Soit M un point tel que vecteur CM= 2/3 vecteur CK.

1. a. Justifier que (vecteurCK; vecteurCA) est une base du plan.
b. En utilisant la base (vecteurCK; vecteurCA) montrer que M,B et L sont alignés.
c. Que représente le point M pour le triangle ABC. Justifier.
2. a. Démontrer que vecteur MA+ vecteur MB+ vecteur MC= vecteur nul.
b. Existe-t-il un autre point H du plan tel que vecteur HA + vecteur HB+ vecteur HC = vecteur nul ? ( En supposant qu'un point H du plan vérifie cette égalité, on montrera que vecteur HM = vecteur nul puis...)

Voila ce que j'ai fait:
1. a. (vecteur CK; vecteur CA) est une base car vecteur CK et vecteur CA ne sont pas colinéaires et les points C, K et A ne sont pas alignés car ABC est un triangle avec [CA] un côté de ce triangle et K milieu de [AB], un autre côté du triangle.
b. Je cherche donc à exprimer MB en fonction de CI et CA et ML en fonction de CK et CA.

Je sais que AL = 1/2 AC car L est le milieu de [AC].
ML= MC+ CA+ AL
ML= -2/3CK+ CA+ 1/2AC
ML= -2/3CK+ 1/2 CA

MB= MC + CA + AB
MB= -2/3 CK + CA + AB
Ici je suis bloquée je n'arrive pas à exprimer MB en fonction de CK et CA car il me reste toujours AB.

c. Le centre de gravité se trouve toujours au 2/3 de chaque médiane du triangle. Ici, je sais que K est le milieu de [AB] et on nous dis que CM= 2/3 CK. Donc, grace à cette relation je sais que M est le centre de gravité du triangle puisqu'il se trouve au 2/3 de la médiane (CK). Est-ce correcte comme justification?

2.a. D'après l'explication ci-dessus, M est le centre de gravité du triangle ABC. Il y a une propriété qui dis que si M est le centre de gravité du triangle ABC, MA+MB+MC = vecteur nul. Cependant, cela ne me permet pas de la démontrer mais je ne sais pas comment faire.

b. Je ne sais pas, je n'y arrive pas.

Merci par avance pour votre aide,

Cordialement,

Margot.

[sos-math(27)]

Bonjour Margot,
Question 1 a) : c'est la bonne démarche, mais il vaudrait peut être mieux passer par la contre apposée : A, C, K ne sont pas alignés car si ils étaient alignés, alors, cela voudrait dire que A, C, B sont alignés, ce qui est exclu car ABC est un triangle.
Question 1 b) il faut effectivement décomposer deux vecteurs bien choisis dans la base \((\vec {CK}; \vec {CA})\).
\(\vec{MB}\)et \(\vec{ML}\) sont bien choisis, il faut maintenant décomposer
Pour \vec{ML} tu as juste.

Pour \vec{MB}

MB= MC + CA + AB
MB= -2/3 CK + CA + AB

On reste plutôt avec : \(\vec{MB}=-\frac{2}{3} \vec{CK}+\vec{CB}\)
On peut alors exprimer le vecteur \(\vec{CB}\) dans la base \((\vec {CK}; \vec {CA})\).
En effet : \(\vec{CA}+\vec{CB}=2 \times \vec{CK}\) et donc : \(\vec{CB}=2 \times \vec{CK}-\vec{CA}\)
Je te laisse poursuivre ...

Question1 c) : c'est correct

Question 2 : il faut utiliser les décompositions (à trouver) des vecteurs \(\vec{MB}\), \vec{MA}\(\) et \(\vec{MC}\) dans la base choisie, cela va fonctionner.
Question 2b), laisse toi guider : si un point H existe, alors essaie d'écrire \(\vec{HM}\)

à bientôt

[sos-math(21)]

Margot,
je ne vois pas ton énoncé donc je ne sais pas ce qui fait partie de ton énoncé et ce qui correspond à tes réponses.
Merci de joindre une photo de ton énoncé afin que je puisse t'aider correctement.
À bientôt

[Margot]

Bonjour,

J'ai joint mon exercice en pièce jointe. Ce n'est pas une photo car j'ai eu quelques problèmes donc je l'ai réécrit à l'ordinateur.

Cordialement,

Margot.

[Margot]

Bonjour,
Merci pour vos réponses. J'ai pu reprendre mon exercice en fonction de ce que vous m'aviez dit.

Pour la b, soit je peux décomposer à partir de ce que vous m'aviez proposé, j'ai trouvé ça:
MB= -2/3 CK +CB et CB = 2CK-CA car on peut considérer que AK'BC est un parallélogramme, donc AK'=CB et 2CK= CA+ AK' soit 2CK= CA + CB d'où CB=2CK-CA
MB = -2/3CK+ 2CK -CA
MB= 4/3 CK-CA

ou j'ai trouvé une autre méthode qui me semble peut-être être plus simple :

AK=KB car K est le milieu de [AB]

MB= MC+CA+AB
MB= -2/3 CK + CA + AB
MB= -2/3 CK + CA + AK +KB
MB= -2/3 CK+ CA +AK +AK
MB = -2/3 CK+ CA + 2AK
MB= -2/3 CK +CA +2AC +2CK
MB= -2/3 CK+ 2CK +CA -2CA
MB= 4/3 CK -CA

ML= MC+ CA+ AL
ML= -2/3CK+ CA+ 1/2AC
ML= -2/3CK+ CA - 1/2CA
ML= -2/3CK+ 1/2 CA

Ensuite, j'ai donc:

Base (CK;CA)

Les coordonnées du vecteur MB sont (4/3;-1)
Les coordonnées du vecteur ML sont (-2/3; 1/2)

xy'-x'y= 4/3*1/2 - (-1)*(-2/3)= 0

Donc MB et ML sont colinéaires donc les points M, B et L sont alignés.

Pour la 2.a. j'ai trouvé:

MA= MC+ CA
MA= -2/3CK + CA

MB= 4/3 CK - CA

MC= -2/3 CK

MA+MB+MC = -2/3CK + CA + 4/3 CK - CA -2/3 CK = vecteur nul

2.b. Si j'ai bien compris, il faut que je démontre que HM = vecteur nul. Or si HM = vecteur nul alors les points H et M sont confondus et donc il n'existe pas d'autre point H tel que HA+HB+HC = vecteur nul. L'égalité MA+MB+MC = vecteur nul n'est donc valable que pour un seul point : le centre de gravité du triangle qui ici est M.

J'ai essayé de prouvé que HM = vecteur nul mais je ne suis pas du tout sûre que ce que j'ai fait soit bon, mon développement me paraît un peu bizarre.

HM= HM+MA+AB+BM+MH+HM+MC+CM
HM= HM+MA+AB+BM
HM=HM+ MA+AM
HM=HM
HM+HM= vecteur nul
2HM= vecteur nul
HM = vecteur nul

Merci par avance pour vos réponses,

Margot

[sos-math(27)]

Bonjour Margot,
La question 2) est donc correcte, c'est bien.
Pour la suite, ton raisonnement ne va pas car tu pars de la relation \(\vec{HM}=\vec{HM}\) qui est vraie mais qui n'apporte rien en raisonnement !
Pour montrer que \(\vec{HM} = \vec{0}\), tu dois 'partir' avec la relation hypothèse, c'est à dire que :
H est un autre point du plan tel que : \(\vec {HA}+\vec {HB}+ \vec{HC}=\vec 0\)
alors , en décomposant chacun des vecteurs avec le point M, que vas tu obtenir ?
à bientôt

[Margot]

Merci,

Donc si je décompose chacun des vecteurs HA, HB et HC avec le point M j'ai:

HA + HB + HC = vecteur nul
HM + MA + HM +MB +HM + MC = vecteur nul
3HM + MA +MB +MC = vecteur nul

On sait que MA + MB + MC = vecteur nul donc,

3HM = vecteur nul
HM = vecteur nul

Ainsi comme HM = vecteur nul alors les points H et M sont confondus. Il n'existe donc pas d'autre point H tel que HA+HB+HC = vecteur nul, cette égalité n'est donc valable que pour un seul point : le centre de gravité du triangle qui ici est M.

Est-ce correcte maintenant ?

Merci par avance,

À bientôt

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton raisonnement est correct et semble répondre correctement à la question : il existe un UNIQUE point \(M\) tel que \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\).
Bonne continuation

[Margot]

Merci beaucoup pour vos réponses qui m'ont été d'une grande aide,

Margot

[sos-math(21)]

Tant mieux,
bonne continuation