Suite congruence

[Alice]

Bonjour je suis en terminale j'ai un exercice à faire mais je suis bloquer.
A la question 1 j'ai mis:
U0 =3+4=7=7x1congru a 1 (mod7)
Donc u0 est divisible par 7
U1=27+8=35=7x5=35x1congru a 1 (mod7)
Donc u1 est divisible par 7
U2=259=37x7=37x1 congru a 1 (mod 7)
Donc u2 est divisible par 7

Cependant je ne suis pas sûr que c'était comme ça qu'il fallait faire.

Pour la question 2 j'ai commencer à faire quelque chose mais je suis bloquer :
3^(2n+1)+2^(n+2) (mod7)

(3^2)^n+3^1+2^n+2^2. (Mod7)
Congru a 9^n +3+2^n+4. (Mod 7)
Congru a 9^n +2^n+7. (Mod 7)
Congru a 2^n+2^n+7. (Mod7)


Mais j'arrive pas à finir la question pouvez vous m'aider s'il vous plaît
Merci d'avance
Alice

[SoS-Math(25)]

Bonjour Alice,

Pour 1), l'idée est bonne mais la rédaction est à corriger :

A la question 1 j'ai mis:
U0 =3+4=7=7x1congru a 0 (mod7)
Donc u0 est divisible par 7
U1=27+8=35=7x5 congru a 0 (mod7)
Donc u1 est divisible par 7
U2=259=37x7 congru a 0 (mod 7)
Donc u2 est divisible par 7

Le reste de la division euclidienne de \(U_n\) par 7 est 0 donc \(U_n\) est divisible par 7 pour n=0, 1, et 2.

Pour la 2), il y a aussi des erreurs :

3^(2n+1)+2^(n+2) (mod7)

(3^2)^n+3^1+2^n+2^2. (Mod7)

\(3^{2n+1}=(3^2)^n\times 3^1 \neq (3^2)^n+3^1\)

je te conseille une démonstration par récurrence :

Initialisation.... Je te laisse faire

Hypothèse : \(U_n=3^{2n+1}+2^{n+2} = 7k\) où k est un entier.

En partant de là, il faudrait réussir à montrer que \(U_{n+1}=7k'\) où k' est un entier.

Bon courage

[Alice]

Bonjours, je ne vois pas trop comment rédiger la question 1?

Et pour la question 2 au début je voulais faire une récurrence sauf qu'on fait des récurrences dans l'enseignement obligatoire et que ce devoir maison est un devoir maison de spécialité et le professeur nous a demandé de faire des congruence au lieu de récurrence .

Je ne vois pas où je me suis trompé dans l'égalité du début de la congruence ?

Merci Alice

[SoS-Math(25)]

Pour la question 1), j'ai corrigé tes erreurs :

A la question 1 j'ai mis:
U0 =3+4=7=7x1congru a 0 (mod7)
Donc u0 est divisible par 7
U1=27+8=35=7x5 congru a 0 (mod7)
Donc u1 est divisible par 7
U2=259=37x7 congru a 0 (mod 7)
Donc u2 est divisible par 7

Pour la 2),

\(3^{2n+1}=(3^2)^n\times 3^1 \neq (3^2)^n+3^1\), Tu avais écrit :

3^(2n+1)+2^(n+2) (mod7)

(3^2)^n+3^1+2^n+2^2. (Mod7)

Sans récurrence :

L'idée est de partir de :

\(3^{2n+1}=(3^2)^n\times 3 = 9^n\times 3 \equiv 2^n\times 3 \pmod 7\) car \(9 \equiv 2 \pmod 7\)

Ensuite, il faudra ajouter \(2^{n+2}\)

Bon courage

[Alice]

D'accord merci, j'ai compris pour la question un

Pour la question 2, j'ai fais,

3^(2n+1) +2^(n+2)
Congru a 2^n x3 +2^n x4
Congru a 2^n (7)

C'est cela ? Mais il me semble que mon opération est pas terminer mais je ne vois pas comment faire

Merci
Alice

[SoS-Math(25)]

Tu y es presque.

3^(2n+1) +2^(n+2)
Congru a 2^n x3 +2^n x4 mod 7
Congru a 2^n(3+4) mod 7

....

Pour montrer que ce nombre est divisible par 7, il faut arriver à 0 mod 7...

A bientôt

[Alice]

A je crois avoir compris,


3^(2n+1) +2^(n+2)
Congru a 2^n x3 +2^n x4 mod 7
Congru a 2^n(3+4) mod 7
Congru a 2^n(7) mod7
Congru a 2^n(9) mod 7. Car 7 congru a 0 mod7
Congru a 0

Donc un est divisible par 7
C'est bien cela ? Merci beaucoup
Alice

[SoS-Math(25)]

Encore quelques erreurs d'écriture peut-être mais c'est cela :

A je crois avoir compris,


3^(2n+1) +2^(n+2)
Congru a 2^n x3 +2^n x4 mod 7
Congru a 2^n*(3+4) mod 7
Congru a 2^n*(7) mod7
Congru a 2^n*(0) mod 7. Car 7 congru a 0 mod7
Congru a 0 mod 7

Donc un est divisible par 7
C'est bien cela ? Merci beaucoup
Alice