Division euclidienne

[Érika]

Bonjour je suis erika en terminale s et j'ai un devoir maison à rendre mais je suis bloquer a une question.
J'ai essayer de faire une division euclidienne mais ça ne le donne rien et je ne vois pas du tout comment faire
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît
Merci beaucoup
Erika

[SoS-Math(25)]

Bonjour Erika,

As-tu essayé avec des valeurs de n ?

Pour démarrer, il faudrait observer quelque chose en écrivant bien les calculs :

Pour n=2

\(3^n - 1=8\) et \(8=3\times 2 +2\) où (\(3^{n-1}=3\))

Pour n=3

\(3^n - 1=26\) et \(26=3^2\times2+ 8\) où (\(3^{n-1}=9\))

Continue ainsi et regarde bien les restes et les quotients, cela va te permettre d'obtenir une égalité à démontrer.

Bon courage

[Erika]

Bonjour,
Ensuite pour N=4j'ai
3^4-1=80 et 80= 3^3x2+26 ou n^n-1=27

Pour n=5 j'ai
3^5-1=242 et242=3^4x2+80 ou 3^n-1=81

Donc (3^n-1)=2x3^(n-1) + 3^(n-1)-1

Es cela l'égalité à démontrer ?
Merci
Erika

[SoS-Math(25)]

C'est cela, bonne observation.

Reste à démontrer cette égalité puis à conclure.

A bientôt

[Erika]

Bonjour, donc on obtien,
3^n-1=2x3^(n-1)+3^(n-1)-1
= 3^(n-1)( 2+1) -1
= 3x 3^(n-1) -1
Donc le reste d la division euclidienne est -1
Es cela?
Merci beaucoup
Erika

[SoS-Math(25)]

Ta rédaction est mal organisée.

Donc (3^n-1)=2x3^(n-1) + 3^(n-1)-1

Tu as observé que le reste de la division euclidienne de \(3^{n}-1\) par \(3^{n-1}-1\)

Il faut montrer que 2x3^(n-1) + 3^(n-1)-1 = ... = (3^n-1). Ainsi, tu auras montré que le reste de la division euclidienne de \(3^{n}-1\) par \(3^{n-1}-1\).

C'est un peu ce que tu as fais ici :

3^n-1=2x3^(n-1)+3^(n-1)-1
= 3^(n-1)( 2+1) -1
= 3x 3^(n-1) -1

Mais la rédaction ne va pas dans le bon sens !

Il faut partir de 2x3^(n-1)+3^(n-1)-1 pour arriver à 3^n-1.... Tu y es presque, que vaut 3x 3^(n-1) -1 ?

A bientôt

[Erika]

Bonjoir, a d'accord je crois à avoir compris ,
=2x3^(n-1)+3^(n-1)-1
= 3^(n-1)( 2+1) -1
= 3x 3^(n-1) -1
= 3x3^n x 3^-1
= 1 x 3^n-1
= 3^n-1


Et donc le reste de la division euclidienne est 3^(n-1)-1 c'est bien ça ?
Merci
Erika

[SoS-Math(25)]

C'est cela, à bientôt !